初级微积分示例

$\frac{5 x^{2} - 4}{x^{2} (x + 2)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 2}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{2} (x + 2)$ 。

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x^{2} (x + 2))}{x^{2} (x + 2)} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x^{2} (x + 2))}{x^{2} (x + 2)} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.4.2

用 $5 x^{2} - 4$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} - 4 = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$5 x^{2} - 4 = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} - 4 = A (x + 2) + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$5 x^{2} - 4 = A x + A \cdot 2 + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 移到 $A$ 的左侧。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $B (x^{2} (x + 2))$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4.2.3

约去公因数。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4.2.4

重写表达式。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4.2.5

用 $B (x (x + 2))$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x (x + 2)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.8

运用分配律。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.9

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.10

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.10.1

约去公因数。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.5.10.2

用 $(C) (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x^{2})$

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2}$

解题步骤 1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.6.1

移动 $B$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2}$

解题步骤 1.6.2

移动 $2 A$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} + 2 A$

解题步骤 1.6.3

移动 $2 x B$ 。

$5 x^{2} - 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B + 2 A$

解题步骤 1.6.4

移动 $A x$ 。

$5 x^{2} - 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B + 2 A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + 2 B$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 4 = 2 A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$- 4 = 2 A$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$- 4 = 2 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $- 4 = 2 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $2 A = - 4$ 。

$2 A = - 4$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

解题步骤 3.1.2

将 $2 A = - 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $2 A = - 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 2$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 2$ 替换 $0 = A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (- 2) + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3

在 $0 = - 2 + 2 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 2 + 2 B = 0$ 。

$- 2 + 2 B = 0$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$2 B = 2$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3.3

将 $2 B = 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2 B = 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $1$ 替换 $5 = B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$5 = (1) + C$

$B = 1$

$A = - 2$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

去掉圆括号。

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

解题步骤 3.5

在 $5 = 1 + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $1 + C = 5$ 。

$1 + C = 5$

$B = 1$

$A = - 2$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$C = 5 - 1$

$B = 1$

$A = - 2$

解题步骤 3.5.2.2

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

解题步骤 3.6

求解方程组。

$C = 4 B = 1 A = - 2$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$C = 4, B = 1, A = - 2$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{4}{x + 2}$

初级微积分 示例

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