初级微积分示例

$h (t) = {(t + 3)}^{2} + 5$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$h (t + h) = {((t + h) + 3)}^{2} + 5$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(t + h + 3)}^{2}$ 重写为 $(t + h + 3) (t + h + 3)$ 。

$h (t + h) = (t + h + 3) (t + h + 3) + 5$

解题步骤 2.1.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t + h + 3) (t + h + 3)$ 。

$h (t + h) = t \cdot t + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$h (t + h) = t^{2} + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $3$ 移到 $t$ 的左侧。

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $3$ 移到 $h$ 的左侧。

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 \cdot h + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $t h$ 和 $h t$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $t$ 和 $h$ 重新排序。

$h (t + h) = t^{2} + h t + h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $h t$ 和 $h t$ 相加。

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 $3 t$ 和 $3 t$ 相加。

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 3 h + 6 t + 3 h + 9 + 5$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 $3 h$ 和 $3 h$ 相加。

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 9 + 5$

解题步骤 2.1.2.2

将 $9$ 和 $5$ 相加。

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$ 。

$t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$2 h t + h^{2} + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

解题步骤 2.2.2

将 $2 h t$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$h (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$h (t) = t^{2} + 6 t + 14$

$h (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$h (t) = t^{2} + 6 t + 14$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{h (t + h) - h t}{h} = \frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - (t^{2} + 6 t + 14)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - (6 t) - 1 \cdot 14}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 1 \cdot 14}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 14}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 + 0 - 6 t - 14}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 - 6 t - 14}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $6 t$ 中减去 $6 t$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0 + 14 - 14}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 14 - 14}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $14$ 中减去 $14$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $h^{2} + 2 h t + 6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $h^{2} + 2 h t + 6 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h + 2 h t + 6 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $2 h t$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 t) + 6 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $6 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 t) + h \cdot 6}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $h (h) + h (2 t)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 t) + h \cdot 6}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $h (h + 2 t) + h \cdot 6$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h + 2 t + 6$ 除以 $1$ 。

$h + 2 t + 6$

解题步骤 4.2.2

将 $h$ 和 $2 t$ 重新排序。

$2 t + h + 6$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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