初级微积分示例

$\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ 无定义。

$x = - 2, x = 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 2$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 2$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 2, 1$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 8.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 8.2

展开 $(x - 1) (x + 2)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x (x + 2) - 1 (x + 2)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.4

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{1 + 1} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 2 x - 1 x - 2}$

解题步骤 8.2.10

从 $2 x$ 中减去 $1 x$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 8.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

解题步骤 8.4

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

解题步骤 8.5

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

解题步骤 8.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

解题步骤 8.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

解题步骤 8.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

						$x$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

解题步骤 8.9

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

解题步骤 8.10

将新的商式项乘以除数。

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$6$

$x^{2}$

$x$

$2$

解题步骤 8.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x - 2$ 中的所有符号

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
							-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$

解题步骤 8.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
							-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
									-	$4 x$	-	$4$

解题步骤 8.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + 1 + \frac{- 4 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 8.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x + 1$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 2, 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x + 1$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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