初级微积分示例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ 重写成 ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

化简。

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{3} + 8 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{3} = - 8$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{3} + 8 = 0$

解题步骤 2.3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x^{3} + 2^{3} = 0$

解题步骤 2.3.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

解题步骤 2.3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.3.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.3.6

将 $x^{2} - 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $x^{2} - 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.3.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.6.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.6.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.7

最终解为使 $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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