初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$ 无定义。

$x = - 1$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $- 4$ 。

$- 5, 1$

解题步骤 6.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 x + 4}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $4 x + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4 (1)}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $4 (x) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x - 5}{4}$

解题步骤 6.2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4$

$x$

$5$

解题步骤 6.3

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $4$ 。

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	-	$5$

解题步骤 6.4

将新的商式项乘以除数。

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	+	$x$

解题步骤 6.5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x$ 中的所有符号

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$

解题步骤 6.6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$

解题步骤 6.7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$	-	$5$

解题步骤 6.8

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

解题步骤 6.9

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{x}{4}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{x}{4}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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