初级微积分示例

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ 写为等式。

$y = \sqrt[5]{x} - 6$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[5]{y} - 6$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[5]{y} - 6 = x$ 。

$\sqrt[5]{y} - 6 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$\sqrt[5]{y} = x + 6$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{5}}$ 。

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$y = {(x + 6)}^{5}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x + 6)}^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y = x^{5} + 5 x^{4} \cdot 6 + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 36 + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $36$ 乘以 $10$ 。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 216 + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.5

将 $216$ 乘以 $10$ 。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.6

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 1296 + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.7

将 $1296$ 乘以 $5$ 。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 6^{5}$

解题步骤 3.4.3.1.2.8

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ 是否为 $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {\sqrt[5]{x}}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{5}{5}} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.1.5

化简。

解题步骤 5.2.3.2.2

将 ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 \sqrt[5]{x^{4}} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.3

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.5

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 36 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.6

将 $36$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.7

将 ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.8

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 216 + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.9

将 $- 216$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.10

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 1296 + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.11

将 $1296$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.2.12

对 $- 6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.3

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 ({\sqrt[5]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.4.1

将 ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.2

将 ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.4

将 ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.5

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 36 + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.6

将 $36$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.7

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.8

将 $- 216$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.4.9

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + 1296) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 30 (- 24 \sqrt[5]{x^{3}}) + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.6

化简。

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解题步骤 5.2.3.6.1

将 $- 24$ 乘以 $30$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.6.2

将 $216$ 乘以 $30$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.6.3

将 $- 864$ 乘以 $30$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.6.4

将 $30$ 乘以 $1296$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.7

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 ({\sqrt[5]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.8.1

将 ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8.2

将 ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8.3

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8.4

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8.5

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.8.6

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} - 216) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 360 (- 18 \sqrt[5]{x^{2}}) + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.10

化简。

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解题步骤 5.2.3.10.1

将 $- 18$ 乘以 $360$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.10.2

将 $108$ 乘以 $360$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $360$ 乘以 $- 216$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.11

将 ${(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ((\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.12

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ 。

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解题步骤 5.2.3.12.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} (\sqrt[5]{x} - 6) - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.12.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.12.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.13.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.13.1.1

乘以 $\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.13.1.1.1

对 $\sqrt[5]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.1.2

对 $\sqrt[5]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{2} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.2

将 ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.3

将 $- 6$ 移到 $\sqrt[5]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.1.4

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.13.2

从 $- 6 \sqrt[5]{x}$ 中减去 $6 \sqrt[5]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 12 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.14

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 2160 (- 12 \sqrt[5]{x}) + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.15

化简。

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解题步骤 5.2.3.15.1

将 $- 12$ 乘以 $2160$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.15.2

将 $2160$ 乘以 $36$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

解题步骤 5.2.3.16

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \cdot - 6 + 7776$

解题步骤 5.2.3.17

将 $6480$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

将 $- 30 \sqrt[5]{x^{4}}$ 和 $30 \sqrt[5]{x^{4}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.3

从 $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ 中减去 $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.5

将 $- 2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ 和 $2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.7

将 $- 77760$ 和 $77760$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.8

将 $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.9

从 $38880$ 中减去 $38880$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.10

将 $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

解题步骤 5.2.4.1.11

将 $- 7776$ 和 $7776$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} + 0 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.12

将 $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ 中减去 $720 \sqrt[5]{x^{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ 和 $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.4

从 $6480 \sqrt[5]{x}$ 中减去 $25920 \sqrt[5]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 19440 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $- 19440 \sqrt[5]{x}$ 和 $38880 \sqrt[5]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 19440 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.6

从 $19440 \sqrt[5]{x}$ 中减去 $25920 \sqrt[5]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 5.2.4.7

合并 $x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.7.1

将 $- 6480 \sqrt[5]{x}$ 和 $6480 \sqrt[5]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.7.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776)$ 。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 5 \cdot (6 x^{4}) + 10 \cdot (6^{2} x^{3}) + 10 \cdot (6^{3} x^{2}) + 5 \cdot (6^{4} x) + 6^{5}} - 6$

解题步骤 5.3.4.2

使用二项式定理来对 $x^{5} + 5 \cdot 6 x^{4} + 10 \cdot 6^{2} x^{3} + 10 \cdot 6^{3} x^{2} + 5 \cdot 6^{4} x + 6^{5}$ 进行因式分解。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{{(x + 6)}^{5}} - 6$

解题步骤 5.3.4.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 6 - 6$

解题步骤 5.3.5

合并 $x + 6 - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ 为 $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

初级微积分 示例

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