初级微积分示例

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ 无定义。

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ 时， $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ 时， $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - \sqrt{3}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ 时， $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ 时， $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = \sqrt{3}$ 是一条垂直渐近线。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简表达式。

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解题步骤 8.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

解题步骤 8.1.2

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

解题步骤 8.1.3

从 $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

解题步骤 8.1.4

重写负数。

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解题步骤 8.1.4.1

将 $- (x^{2} - 3)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 3)$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

解题步骤 8.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2

展开 $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 8.2.1

对 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ 取反。

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.4

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.5

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

解题步骤 8.4

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

解题步骤 8.5

将新的商式项乘以除数。

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

解题步骤 8.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ 中的所有符号

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

解题步骤 8.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 8.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

解题步骤 8.9

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

解题步骤 8.10

将新的商式项乘以除数。

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

解题步骤 8.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 0 + 12$ 中的所有符号

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

解题步骤 8.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

解题步骤 8.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

解题步骤 8.14

将解分解成多项式部分和余项。

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

解题步骤 8.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - 2 x - 4$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - 2 x - 4$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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