初等代数示例

$\frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 2) (x + 3) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3) (x + 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 1) (x + 3) (x + 2)$ 的因式。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x (x - 1) + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 6.4.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x (x + 2) - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.4.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.4.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.5

合并 $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ 中相反的项。

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解题步骤 6.5.1

按照 $x \cdot 2$ 和 $- 2 x$ 重新排列因数。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.5.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.5.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.6.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

解题步骤 6.7

将 $3 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

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