初等代数示例

$\frac{8 r^{3} + 6 r^{2} - 25}{4 r - 5}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 r$

-

$5$

$8 r^{3}$

+

$6 r^{2}$

+

$0 r$

-

$25$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $8 r^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $4 r$ 。

					$2 r^{2}$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

					$2 r^{2}$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				+	$8 r^{3}$	-	$10 r^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 r^{3} - 10 r^{2}$ 中的所有符号

					$2 r^{2}$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 r^{2}$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 r^{2}$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $16 r^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 r$ 。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						+	$16 r^{2}$	-	$20 r$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 r^{2} - 20 r$ 中的所有符号

					$2 r^{2}$	+	$4 r$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$	-	$25$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $20 r$ 除以除数中的最高阶项 $4 r$ 。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$5$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$	-	$25$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$5$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$	-	$25$
								+	$20 r$	-	$25$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 r - 25$ 中的所有符号

					$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$5$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$	-	$25$
								-	$20 r$	+	$25$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$5$
	$4 r$	-	$5$		$8 r^{3}$	+	$6 r^{2}$	+	$0 r$	-	$25$
				-	$8 r^{3}$	+	$10 r^{2}$
						+	$16 r^{2}$	+	$0 r$
						-	$16 r^{2}$	+	$20 r$
								+	$20 r$	-	$25$
								-	$20 r$	+	$25$
											$0$

解题步骤 16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 r^{2} + 4 r + 5$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$