初等代数示例

$\frac{4 k^{3} + 12 k^{2} + 11 k - 3}{k + 2}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$k$

+

$2$

$4 k^{3}$

+

$12 k^{2}$

+

$11 k$

-

$3$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $4 k^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$4 k^{2}$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

					$4 k^{2}$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				+	$4 k^{3}$	+	$8 k^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 k^{3} + 8 k^{2}$ 中的所有符号

					$4 k^{2}$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 k^{2}$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$4 k^{2}$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $4 k^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						+	$4 k^{2}$	+	$8 k$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 k^{2} + 8 k$ 中的所有符号

					$4 k^{2}$	+	$4 k$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$	-	$3$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $3 k$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$	+	$3$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$	-	$3$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$	+	$3$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$	-	$3$
								+	$3 k$	+	$6$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 k + 6$ 中的所有符号

					$4 k^{2}$	+	$4 k$	+	$3$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$	-	$3$
								-	$3 k$	-	$6$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 k^{2}$	+	$4 k$	+	$3$
	$k$	+	$2$		$4 k^{3}$	+	$12 k^{2}$	+	$11 k$	-	$3$
				-	$4 k^{3}$	-	$8 k^{2}$
						+	$4 k^{2}$	+	$11 k$
						-	$4 k^{2}$	-	$8 k$
								+	$3 k$	-	$3$
								-	$3 k$	-	$6$
										-	$9$

解题步骤 16

最终答案为商加上余数除以除数。

$4 k^{2} + 4 k + 3 - \frac{9}{k + 2}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$