初等代数示例

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.1.2

把 $3$ 重写为 $1$ 加 $2$

$\frac{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4

分组因式分解。

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解题步骤 4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4.1.2

把 $- 7$ 重写为 $- 1$ 加 $- 6$

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $6$ 。

$1, 5$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 6

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $(2 x + 1) (x + 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x + 5}$

解题步骤 7

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(2 x - 1) (x - 3)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{2 x + 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}$

解题步骤 8

将 $\frac{2 x + 1}{x + 5}$ 乘以 $\frac{2 x - 1}{x + 5}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 5) (x + 5)}$

解题步骤 9

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5)}$

解题步骤 10

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}}$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1 + 1}}$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 13

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 13.3

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 14

合并 $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 14.1

按照 $2 x \cdot - 1$ 和 $1 (2 x)$ 重新排列因数。

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 14.2

将 $- 1 \cdot 2 x$ 和 $1 \cdot 2 x$ 相加。

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 14.3

将 $2 x (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 15.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 15.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 15.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 16

分解分数 $\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{- 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 17

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

初等代数 示例

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