初等代数示例

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \div \frac{3 k^{2}}{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 12 \cdot - 2 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 5 k$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{12 k^{2} - 5 (k) - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2.1.2

把 $- 5$ 重写为 $3$ 加 $- 8$

$\frac{12 k^{2} + (3 - 8) k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{12 k^{2} + 3 k - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(12 k^{2} + 3 k) - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 3

从 $k^{2} + 9 k$ 中分解出因数 $k$ 。

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解题步骤 3.1

从 $k^{2}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 3.2

从 $9 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + k \cdot 9} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $k \cdot k + k \cdot 9$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $k^{3} + 7 k^{2} - 18 k$ 中分解出因数 $k$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $k^{3}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 4.1.2

从 $7 k^{2}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) - 18 k}{3 k^{2}}$

解题步骤 4.1.3

从 $- 18 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

解题步骤 4.1.4

从 $k \cdot k^{2} + k (7 k)$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

解题步骤 4.1.5

从 $k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k - 18)}{3 k^{2}}$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $k^{2} + 7 k - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $7$ 。

$- 2, 9$

解题步骤 4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k ((k - 2) (k + 9))}{3 k^{2}}$

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k - 2) (k + 9)}{3 k^{2}}$

解题步骤 5

合并。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k (k + 9) (3 k^{2})}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $k^{2}$ 。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 6.2

将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k^{1} (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2 + 1} (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 7

约去 $k$ 和 $k^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $k^{3} (k + 9) \cdot 3$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{(k^{2} (k + 9)) \cdot 3}$

解题步骤 8

约去 $k + 9$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{k^{2} (k + 9) \cdot 3}$

解题步骤 8.2

重写表达式。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{(k^{2}) \cdot 3}$

解题步骤 9

将 $3$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 10

使用 FOIL 方法展开 $(4 k + 1) (3 k - 2)$ 。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{(4 k (3 k - 2) + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(4 \cdot 3 k \cdot k + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.2

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 11.1.2.1

移动 $k$ 。

$\frac{(4 \cdot 3 (k \cdot k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.2.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{(4 \cdot 3 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(12 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.4

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.5

将 $3 k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $- 8 k$ 和 $3 k$ 相加。

$\frac{(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

解题步骤 12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)$ 。

$\frac{12 k^{2} k + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 13.1.1

移动 $k$ 。

$\frac{12 (k \cdot k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.1.2

将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (k^{1} k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 k^{1 + 2} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{12 k^{3} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.2

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.3

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 13.3.1

移动 $k$ 。

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 (k \cdot k) - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.3.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.4

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

解题步骤 13.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

解题步骤 14

从 $- 24 k^{2}$ 中减去 $5 k^{2}$ 。

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

解题步骤 15

从 $10 k$ 中减去 $2 k$ 。

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$

解题步骤 16

分解分数 $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 17

分解分数 $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 18

分解分数 $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{12 k^{3}}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 19

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 19.1

从 $12 k^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 19.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1

从 $3 k^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 (k^{2})} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 19.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 19.2.3

重写表达式。

$\frac{4 k^{3}}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 20

约去 $k^{3}$ 和 $k^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 20.1

从 $4 k^{3}$ 中分解出因数 $k^{2}$ 。

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 20.2

约去公因数。

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解题步骤 20.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 20.2.2

约去公因数。

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 20.2.3

重写表达式。

$\frac{4 k}{1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 20.2.4

用 $4 k$ 除以 $1$ 。

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 21

约去 $k^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 21.1

约去公因数。

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 21.2

重写表达式。

$4 k + \frac{- 29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 22

将负号移到分数的前面。

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 23

约去 $k$ 和 $k^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 23.1

从 $8 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 23.2

约去公因数。

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解题步骤 23.2.1

从 $3 k^{2}$ 中分解出因数 $k$ 。

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 23.2.2

约去公因数。

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

解题步骤 23.2.3

重写表达式。

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8}{3 k} + \frac{4}{3 k^{2}}$

初等代数 示例

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