初等代数示例

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $a^{2} - a - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 4

约去 $a - 5$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 5

从 $45 - 5 a$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.1

从 $45$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 5.2

从 $- 5 a$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 5.3

从 $5 (9) + 5 (- a)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $a^{2} - 13 a + 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $36$ ，和为 $- 13$ 。

$- 9, - 4$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7

约去 $9 - a$ 和 $a - 9$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7.2

从 $- a$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7.3

从 $- 1 (- 9) - (a)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7.5

约去公因数。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

解题步骤 7.6

重写表达式。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

解题步骤 8

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

解题步骤 10

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

解题步骤 11

将 $\frac{5}{a - 4}$ 乘以 $\frac{a + 4}{a + 5}$ 。

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

解题步骤 12

运用分配律。

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

解题步骤 13

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

解题步骤 14

分解分数 $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ 成为两个分数。

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$

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