初等代数示例

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 27$ ，和为 $- 6$ 。

$- 9, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

从 $3 x^{2} - 243$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 3.1.2

从 $- 243$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 3.1.3

从 $3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 3.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 9$ 。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 4

约去 $x - 9$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 5.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

解题步骤 5.3

重写多项式。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 5.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 9$ 。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 12 x + 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $27$ ，和为 $12$ 。

$3, 9$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

解题步骤 7

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

解题步骤 8

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $3 (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

解题步骤 8.2

从 ${(x + 9)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

解题步骤 8.3

约去公因数。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

解题步骤 8.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{x + 9}{x + 9}$ 。

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

解题步骤 10

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

约去公因数。

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

解题步骤 10.2

重写表达式。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

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