初等代数示例

$\frac{\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125}}{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} \cdot (5 x) + 25}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 5^{3}}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 \cdot x + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 5^{3}} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2} \cdot (5 x) + 25$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} \cdot (5 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 25}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4.1.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4.1.3

从 $5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x) + 5)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot x^{1} + 5)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2 + 1} + 5)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 5^{2}}$

解题步骤 5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 6

合并。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

解题步骤 7

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) (x + 5)}$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)}$

解题步骤 8.2

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

解题步骤 8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

解题步骤 8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

解题步骤 9

将 $5$ 移到 $x^{2} + 5 x + 25$ 的左侧。

$\frac{5 (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

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