初等代数示例

$\frac{\frac{x^{2} - 14 x + 45}{x^{2} - 5 x - 36}}{\frac{x^{2} \cdot (3 x) - 10}{x^{2} - 7 x - 18}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x^{2} - 14 x + 45}{x^{2} - 5 x - 36} \cdot \frac{x^{2} - 7 x - 18}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 14 x + 45$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $45$ ，和为 $- 14$ 。

$- 9, - 5$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 9) (x - 5)}{x^{2} - 5 x - 36} \cdot \frac{x^{2} - 7 x - 18}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x - 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 36$ ，和为 $- 5$ 。

$- 9, 4$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 9) (x - 5)}{(x - 9) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x - 18}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 4

约去 $x - 9$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(x - 9) (x - 5)}{(x - 9) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x - 18}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 7 x - 18}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $- 7$ 。

$- 9, 2$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{x^{2} \cdot (3 x) - 10}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{3 x^{2} x - 10}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{3 (x \cdot x^{2}) - 10}$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{3 (x^{1} x^{2}) - 10}$

解题步骤 6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{3 x^{1 + 2} - 10}$

解题步骤 6.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x - 5}{x + 4} \cdot \frac{(x - 9) (x + 2)}{3 x^{3} - 10}$

解题步骤 7

将 $\frac{x - 5}{x + 4}$ 乘以 $\frac{(x - 9) (x + 2)}{3 x^{3} - 10}$ 。

$\frac{(x - 5) (x - 9) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 8

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x - 9)$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(x (x - 9) - 5 (x - 9)) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 9 - 5 (x - 9)) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 9 - 5 x - 5 \cdot - 9) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 9

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x^{2} + x \cdot - 9 - 5 x - 5 \cdot - 9) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} - 9 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 9) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{(x^{2} - 9 x - 5 x + 45) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 9.2

从 $- 9 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{(x^{2} - 14 x + 45) (x + 2)}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 14 x + 45) (x + 2)$ 。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 14 x \cdot x - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11

化简每一项。

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解题步骤 11.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 - 14 x \cdot x - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 - 14 x \cdot x - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 14 x \cdot x - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 14 x \cdot x - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 14 (x \cdot x) - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 14 x^{2} - 14 x \cdot 2 + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.4

将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 14 x^{2} - 28 x + 45 x + 45 \cdot 2}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 11.5

将 $45$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 14 x^{2} - 28 x + 45 x + 90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 12

从 $2 x^{2}$ 中减去 $14 x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 28 x + 45 x + 90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 13

将 $- 28 x$ 和 $45 x$ 相加。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 17 x + 90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 14

分解分数 $\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 17 x + 90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$ 成为两个分数。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 17 x}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 15

分解分数 $\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 17 x}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$ 成为两个分数。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{17 x}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 16

分解分数 $\frac{x^{3} - 12 x^{2}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$ 成为两个分数。

$\frac{x^{3}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{- 12 x^{2}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{17 x}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

解题步骤 17

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{3}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} - \frac{12 x^{2}}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{17 x}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)} + \frac{90}{(x + 4) (3 x^{3} - 10)}$

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