初等代数示例

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}}{\frac{x^{2} + 5 x - 50}{x^{2} + 4 x - 5}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 35$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 35$ ，和为 $2$ 。

$- 5, 7$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 4

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 5 x - 50}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x - 50$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 50$ ，和为 $5$ 。

$- 5, 10$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 5) (x + 10)}$

解题步骤 7

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(x - 1) (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 1)}{(x - 5) (x + 10)}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 1)}{(x - 5) (x + 10)}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$(x + 7) \frac{x - 1}{(x - 5) (x + 10)}$

解题步骤 8

将 $x + 7$ 乘以 $\frac{x - 1}{(x - 5) (x + 10)}$ 。

$\frac{(x + 7) (x - 1)}{(x - 5) (x + 10)}$

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