初等代数示例

$\frac{x^{5} - 8 x^{4} + 10 x^{3} + 14 x^{2} + 61 x - 30}{x^{2} - 5 x + 3}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} - 5 x^{4} + 3 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{4} + 15 x^{3} - 9 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{3} + 40 x^{2} - 24 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

解题步骤 16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

$30$

解题步骤 17

将被除数中的最高阶项 $- 17 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$17$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

$30$

解题步骤 18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$17$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

$30$

$17 x^{2}$

$85 x$

$51$

解题步骤 19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 17 x^{2} + 85 x - 51$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$17$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

$30$

$17 x^{2}$

$85 x$

$51$

解题步骤 20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$17$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$10 x^{3}$

$14 x^{2}$

$61 x$

$30$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{4}$

$15 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x^{3}$

$23 x^{2}$

$61 x$

$8 x^{3}$

$40 x^{2}$

$24 x$

$17 x^{2}$

$85 x$

$30$

$17 x^{2}$

$85 x$

$51$

$21$

解题步骤 21

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 17 + \frac{21}{x^{2} - 5 x + 3}$

初等代数 示例

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