初等代数示例

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ 无定义。

$x = - 3, x = 5$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 3$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = 5$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 3, 5$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简表达式。

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解题步骤 8.1.1

从 $3 x^{3} + 12 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.3

从 $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 8.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2

展开 $3 x^{2} (x + 4)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.3

展开 $(x - 5) (x + 3)$ 。

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解题步骤 8.3.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.4

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.9

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

解题步骤 8.3.10

从 $3 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 8.5

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 8.6

将新的商式项乘以除数。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

解题步骤 8.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$ 中的所有符号

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

解题步骤 8.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

解题步骤 8.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

解题步骤 8.10

将被除数中的最高阶项 $18 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

解题步骤 8.11

将新的商式项乘以除数。

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

解题步骤 8.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $18 x^{2} - 36 x - 270$ 中的所有符号

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

解题步骤 8.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

解题步骤 8.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x + 18$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3, 5$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x + 18$

解题步骤 10

初等代数 示例

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