初等代数示例

${(y - 3)}^{2} = 8 (x + 6)$

解题步骤 1

将方程重写为 $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ 。

$8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$

解题步骤 2

将 $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 (x + 6)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 (x + 6)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $x + 6$ 除以 $1$ 。

$x + 6 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8} - 6$

解题步骤 4

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 3)}^{2} - 6$

解题步骤 4.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 6$

$k = 3$

解题步骤 4.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向右。

开口向右

解题步骤 4.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 6, 3)$

解题步骤 4.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 4.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 4.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

解题步骤 4.5.3

化简。

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解题步骤 4.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

解题步骤 4.5.3.2

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

解题步骤 4.5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 2$

解题步骤 4.5.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.6

求焦点。

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解题步骤 4.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 4.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, 3)$

解题步骤 4.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 3$

解题步骤 4.8

求准线。

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解题步骤 4.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 4.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - 8$

解题步骤 4.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 6, 3)$

焦点： $(- 4, 3)$

对称轴： $y = 3$

准线： $x = - 8$

方向：开口向右

顶点： $(- 6, 3)$

焦点： $(- 4, 3)$

对称轴： $y = 3$

准线： $x = - 8$

解题步骤 5

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 的值 $- 5$ 代入 $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ 。在本例中，该点为 $(- 5, 5.82842712)$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = 2 \sqrt{2 ((- 5) + 6)} + 3$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$f (- 5) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 5) = 2 \sqrt{2} + 3$

解题步骤 5.1.2.2

最终答案为 $2 \sqrt{2} + 3$ 。

$y = 2 \sqrt{2} + 3$

解题步骤 5.1.3

把 $2 \sqrt{2} + 3$ 转换成小数。

$= 5.82842712$

解题步骤 5.2

将 $x$ 的值 $- 5$ 代入 $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ 。在本例中，该点为 $(- 5, 0.17157287)$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2 ((- 5) + 6)} + 3$

解题步骤 5.2.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2} + 3$

解题步骤 5.2.2.2

最终答案为 $- 2 \sqrt{2} + 3$ 。

$y = - 2 \sqrt{2} + 3$

解题步骤 5.2.3

把 $- 2 \sqrt{2} + 3$ 转换成小数。

$= 0.17157287$

解题步骤 5.3

将 $x$ 的值 $- 4$ 代入 $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ 。在本例中，该点为 $(- 4, 7)$ 。

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解题步骤 5.3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = 2 \sqrt{2 ((- 4) + 6)} + 3$

解题步骤 5.3.2

化简结果。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$f (- 4) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 4) = 2 \sqrt{4} + 3$

解题步骤 5.3.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 4) = 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 4) = 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 5.3.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 4) = 4 + 3$

解题步骤 5.3.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 4) = 7$

解题步骤 5.3.2.3

最终答案为 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 5.3.3

把 $7$ 转换成小数。

$= 7$

解题步骤 5.4

将 $x$ 的值 $- 4$ 代入 $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ 。在本例中，该点为 $(- 4, - 1)$ 。

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解题步骤 5.4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2 ((- 4) + 6)} + 3$

解题步骤 5.4.2

化简结果。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 4) = - 2 \sqrt{4} + 3$

解题步骤 5.4.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

解题步骤 5.4.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 4) = - 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 5.4.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 4) = - 4 + 3$

解题步骤 5.4.2.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 4) = - 1$

解题步骤 5.4.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 5.4.3

把 $- 1$ 转换成小数。

$= - 1$

解题步骤 5.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 5.83 \\ - 5 & 0.17 \\ - 4 & 7 \\ - 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 6

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 6, 3)$

焦点： $(- 4, 3)$

对称轴： $y = 3$

准线： $x = - 8$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 5.83 \\ - 5 & 0.17 \\ - 4 & 7 \\ - 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 7

初等代数 示例

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