初等代数示例

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{36}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $36$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

解题步骤 5.3.5

要将 $16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 5.3.6

组合 $16$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

解题步骤 5.3.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

解题步骤 5.3.8

化简分子。

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解题步骤 5.3.8.1

将 $16$ 乘以 $25$ 。

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

解题步骤 5.3.8.2

将 $1296$ 和 $400$ 相加。

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

解题步骤 5.3.9

将 $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ 。

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.10

化简分子。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $1696$ 重写为 $4^{2} \cdot 106$ 。

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解题步骤 5.3.10.1.1

从 $1696$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.10.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.10.2

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.11

化简分母。

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解题步骤 5.3.11.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.11.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{36}{5}, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{36}{5}, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{36}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.3

对 $36$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.6

要将 $16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.7

组合 $16$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.8

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.9

化简分子。

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解题步骤 8.3.9.1

将 $16$ 乘以 $25$ 。

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.9.2

将 $1296$ 和 $400$ 相加。

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.10

将 $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ 。

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.11

化简分子。

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解题步骤 8.3.11.1

将 $1696$ 重写为 $4^{2} \cdot 106$ 。

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解题步骤 8.3.11.1.1

从 $1696$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.11.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.11.2

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.12

化简分母。

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解题步骤 8.3.12.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.12.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.13

化简项。

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解题步骤 8.3.13.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.13.1.1

从 $4 \sqrt{106}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

解题步骤 8.3.13.1.2

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

解题步骤 8.3.13.1.3

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

解题步骤 8.3.13.1.4

重写表达式。

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

解题步骤 8.3.13.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.13.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

解题步骤 8.3.13.2.2

重写表达式。

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

解题步骤 8.3.13.3

组合 $\sqrt{106}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从 $4 \sqrt{106}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

解题步骤 9.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{4}{\sqrt{106}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ 。

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.4.1

将 $\frac{4}{\sqrt{106}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.2

对 $\sqrt{106}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.3

对 $\sqrt{106}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6

将 ${\sqrt{106}}^{2}$ 重写为 $106$ 。

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解题步骤 9.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{106}$ 重写成 $106^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.4.6.5

计算指数。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.5

约去 $4$ 和 $106$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.5.1

从 $4 \sqrt{106}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.5.2.1

从 $106$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.6

乘以 $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 9.3.6.1

将 $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

解题步骤 9.3.6.2

将 $53$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

解题步骤 11

化简 $\frac{5}{9} x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{5}{9} x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{5}{9} x$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{5}{9}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{5 x}{9}$

解题步骤 12

化简 $- \frac{5}{9} x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- \frac{5}{9} x$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{5}{9} x$

解题步骤 12.2

组合 $x$ 和 $\frac{5}{9}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

解题步骤 12.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{5 x}{9}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

焦点： $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{106}}{9}$

焦点参数： $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

渐近线： $y = \frac{5 x}{9}$ ， $y = - \frac{5 x}{9}$

解题步骤 15

初等代数 示例

初等代数示例