初等代数示例

$(\sqrt{x + 4} + x^{2}) (12)$

解题步骤 1

将 $12 \sqrt{x + 4}$ 和 $12 x^{2}$ 重新排序。

$y = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2

求 $y = (\sqrt{x + 4} + x^{2}) (12)$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x + 4}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 4 \geq 0$

解题步骤 2.2

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 4, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 4}$

区间计数法：

$[- 4, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 4}$

解题步骤 3

要求根式端点，请将 $x$ 值 $- 4$ 代入 $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4) = 12 \cdot 16 + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 4) = 192 + 12 \cdot 0$

解题步骤 3.2.1.6

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f (- 4) = 192 + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $192$ 和 $0$ 相加。

$f (- 4) = 192$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $192$ 。

$192$

解题步骤 4

根式表达式的端点为 $(- 4, 192)$ 。

$(- 4, 192)$

解题步骤 5

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 的值 $- 3$ 代入 $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ 。在本例中，该点为 $(- 3, 120)$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = 12 \cdot 9 + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = 108 + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$f (- 3) = 108 + 12 \sqrt{1}$

解题步骤 5.1.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (- 3) = 108 + 12 \cdot 1$

解题步骤 5.1.2.1.5

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f (- 3) = 108 + 12$

解题步骤 5.1.2.2

将 $108$ 和 $12$ 相加。

$f (- 3) = 120$

解题步骤 5.1.2.3

最终答案为 $120$ 。

$y = 120$

解题步骤 5.2

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, 48 + 12 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

解题步骤 5.2.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 12 \cdot 4 + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = 48 + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

解题步骤 5.2.2.1.3

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = 48 + 12 \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2.2

最终答案为 $48 + 12 \sqrt{2}$ 。

$y = 48 + 12 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(- 4, 192), (- 3, 120), (- 2, 64.97)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 192 \\ - 3 & 120 \\ - 2 & 64.97 \end{array}$

解题步骤 6

初等代数 示例

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