初等代数示例

$5 \sqrt{5 x + 29} = x + 3$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(5 \sqrt{5 x + 29})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x + 29}$ 重写成 ${(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${(5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$5^{2} {({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$25 {({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$25 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$25 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$25 {(5 x + 29)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.4

化简。

$25 (5 x + 29) = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.5

运用分配律。

$25 (5 x) + 25 \cdot 29 = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.6

乘。

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解题步骤 2.2.1.6.1

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$125 x + 25 \cdot 29 = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.6.2

将 $25$ 乘以 $29$ 。

$125 x + 725 = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(x + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$125 x + 725 = (x + 3) (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$125 x + 725 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$125 x + 725 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$125 x + 725 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$125 x + 725 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$125 x + 725 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$125 x + 725 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$125 x + 725 = x^{2} + 6 x + 9$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 6 x + 9 = 125 x + 725$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $125 x$ 。

$x^{2} + 6 x + 9 - 125 x = 725$

解题步骤 3.2.2

从 $6 x$ 中减去 $125 x$ 。

$x^{2} - 119 x + 9 = 725$

解题步骤 3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $725$ 。

$x^{2} - 119 x + 9 - 725 = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $9$ 中减去 $725$ 。

$x^{2} - 119 x - 716 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 119$ 和 $c = - 716$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{119 \pm \sqrt{{(- 119)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 716)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 119$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 716$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $14161$ 和 $2864$ 相加。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $17025$ 重写为 $5^{2} \cdot 681$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $17025$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 119$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 716$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

将 $14161$ 和 $2864$ 相加。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $17025$ 重写为 $5^{2} \cdot 681$ 。

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解题步骤 3.7.1.4.1

从 $17025$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 3.7.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 3.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $- 119$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 716$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.3

将 $14161$ 和 $2864$ 相加。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $17025$ 重写为 $5^{2} \cdot 681$ 。

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解题步骤 3.8.1.4.1

从 $17025$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 3.8.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{119 - 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 3.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}, \frac{119 - 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 4

排除不能使 $5 \sqrt{5 x + 29} = x + 3$ 成立的解。

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

小数形式：

$x = 124.73994175 \dots$

初等代数 示例

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