初等代数示例

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{41}{4} = 3 x$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} = 3 x$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} - 3 x = 0$

解题步骤 3

全部乘以最小公分母 $4$ ，然后化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

解题步骤 3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$x^{2} + 41 + 4 (- 3 x) = 0$

解题步骤 3.2.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} + 41 - 12 x = 0$

解题步骤 3.3

移动 $41$ 。

$x^{2} - 12 x + 41 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 1$ 、 $b = - 12$ 和 $c = 41$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

从 $144$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

从 $144$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 6 + i \sqrt{5}$

解题步骤 8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.3

从 $144$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 8.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8.3

化简 $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 6 - i \sqrt{5}$

解题步骤 9

最终答案为两个解的组合。

$x = 6 + i \sqrt{5}, 6 - i \sqrt{5}$

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