初等代数示例

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $2^{X + 3}$ 重写为 $2^{X} \cdot 2^{3}$ 。

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

解题步骤 1.2

将 $4^{X + 1}$ 重写为 $4^{X} \cdot 4^{1}$ 。

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

解题步骤 1.3

将 $2^{X}$ 重写为 ${(2^{2})}^{X}$ 。

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

解题步骤 1.4

将 ${(2^{2})}^{X}$ 重写为 ${(2^{X})}^{2}$ 。

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

解题步骤 1.5

使 $u = 2^{X}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $2^{X}$ 。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

解题步骤 1.5.2

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

解题步骤 1.6

从 $8 u + 4 u^{2} - 320$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.6.1

从 $8 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

解题步骤 1.6.2

从 $4 u^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

解题步骤 1.6.3

从 $- 320$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

解题步骤 1.6.4

从 $4 (2 u) + 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

解题步骤 1.6.5

从 $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

解题步骤 1.7

因数。

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解题步骤 1.7.1

使用 AC 法来对 $2 u + u^{2} - 80$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 80$ ，和为 $2$ 。

$- 8, 10$

解题步骤 1.7.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

解题步骤 1.7.2

去掉多余的括号。

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

解题步骤 1.8

使用 $2^{X}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

解题步骤 3

将 $2^{X} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $X$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2^{X} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$2^{X} - 8 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $X$ 的 $2^{X} - 8 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$2^{X} = 8$

解题步骤 3.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{X} = 2^{3}$

解题步骤 3.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$X = 3$

$X = 3$

$X = 3$

解题步骤 4

将 $2^{X} + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $X$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2^{X} + 10$ 设为等于 $0$ 。

$2^{X} + 10 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $X$ 的 $2^{X} + 10 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$2^{X} = - 10$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

解题步骤 4.2.3

因为 $\ln (- 10)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

$2^{X} = - 10$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使 $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ 成立的所有值。

$X = 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$