初等代数示例

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} = 10$

解题步骤 1

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10 = 0$

解题步骤 1.2

化简 $x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10$ 。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 ${(x - 5)}^{2}$ 重写为 $(x - 5) (x - 5)$ 。

$x^{2} + (x - 5) (x - 5) - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 1.2.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + x (x - 5) - 5 (x - 5) - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5) - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.3.1.2

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x^{2} + x^{2} - 5 x - 5 x + 25 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.1.3.2

从 $- 5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$x^{2} + x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$2 x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $25$ 中减去 $10$ 。

$2 x^{2} - 10 x + 15 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 2$ 、 $b = - 10$ 和 $c = 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 15)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.3

从 $100$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.3

从 $100$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3

从 $100$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 20$ 重写为 $- 1 (20)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (20)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.7

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$

初等代数 示例

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