初等代数示例

$\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}} = 39$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}}^{3} = 39^{3}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}$ 重写成 ${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 39^{3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(27 x \sqrt{x})}^{1} = 39^{3}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$27 x \sqrt{x} = 39^{3}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

对 $39$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x \sqrt{x} = 59319$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(27 x \sqrt{x})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(27 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(27 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.4

在公分母上合并分子。

${(27 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(27 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $27 x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$27^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.3

对 $27$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.2.1

约去公因数。

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

解题步骤 4.2.1.4.2.2

重写表达式。

$729 x^{3} = 59319^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

对 $59319$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 x^{3} = 3518743761$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $3518743761$ 。

$729 x^{3} - 3518743761 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $729 x^{3} - 3518743761$ 中分解出因数 $729$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $729 x^{3}$ 中分解出因数 $729$ 。

$729 (x^{3}) - 3518743761 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- 3518743761$ 中分解出因数 $729$ 。

$729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809$ 中分解出因数 $729$ 。

$729 (x^{3} - 4826809) = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $4826809$ 重写为 $169^{3}$ 。

$729 (x^{3} - 169^{3}) = 0$

解题步骤 5.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 169$ 。

$729 ((x - 169) (x^{2} + x \cdot 169 + 169^{2})) = 0$

解题步骤 5.2.4

因数。

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解题步骤 5.2.4.1

化简。

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解题步骤 5.2.4.1.1

将 $169$ 移到 $x$ 的左侧。

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 169^{2})) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.2

对 $169$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561)) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

去掉多余的括号。

$729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 169 = 0$

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 169$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 169$ 设为等于 $0$ 。

$x - 169 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $169$ 。

$x = 169$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} + 169 x + 28561$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} + 169 x + 28561$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 169 x + 28561 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 169$ 和 $c = 28561$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 169 \pm \sqrt{169^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28561)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $169$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

从 $28561$ 中减去 $114244$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4

将 $- 85683$ 重写为 $- 1 (85683)$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (85683)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.7

将 $85683$ 重写为 $169^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.7.1

从 $85683$ 中分解出因数 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.7.2

将 $28561$ 重写为 $169^{2}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.9

将 $169$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $169$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

从 $28561$ 中减去 $114244$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4

将 $- 85683$ 重写为 $- 1 (85683)$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (85683)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.7

将 $85683$ 重写为 $169^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.7.1

从 $85683$ 中分解出因数 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.7.2

将 $28561$ 重写为 $169^{2}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.9

将 $169$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $- 169$ 重写为 $- 1 (169)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.5

从 $169 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (- 169 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.6

从 $- 1 (169) - (- 169 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (169 - 169 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $169$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

从 $28561$ 中减去 $114244$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4

将 $- 85683$ 重写为 $- 1 (85683)$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (85683)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.7

将 $85683$ 重写为 $169^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.7.1

从 $85683$ 中分解出因数 $28561$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.7.2

将 $28561$ 重写为 $169^{2}$ 。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.9

将 $169$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $- 169$ 重写为 $- 1 (169)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.5

从 $- 169 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (169 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.6

从 $- 1 (169) - (169 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (169 + 169 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$ 成立的所有值。

$x = 169, - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

初等代数 示例

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