初等代数示例

$f (x) = 3 x^{2} + 30 x - 5$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{2} + 30 x - 5$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = 30$

$c = - 5$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{30}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去 $30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (3)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{15}{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 5 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $30$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 5 - \frac{900}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = - 5 - \frac{900}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

用 $900$ 除以 $12$ 。

$e = - 5 - 1 \cdot 75$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $75$ 。

$e = - 5 - 75$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

从 $- 5$ 中减去 $75$ 。

$e = - 80$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(x + 5)}^{2} - 80$ 。

$3 {(x + 5)}^{2} - 80$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 3 {(x + 5)}^{2} - 80$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 3$

$h = - 5$

$k = - 80$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 5, - 80)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 5, - \frac{959}{12})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - 5$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{961}{12}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(- 5, - 80)$

焦点： $(- 5, - \frac{959}{12})$

对称轴： $x = - 5$

准线： $y = - \frac{961}{12}$

方向：开口向上

顶点： $(- 5, - 80)$

焦点： $(- 5, - \frac{959}{12})$

对称轴： $x = - 5$

准线： $y = - \frac{961}{12}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 30 (- 6) - 5$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 6) = 3 \cdot 36 + 30 (- 6) - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f (- 6) = 108 + 30 (- 6) - 5$

解题步骤 2.2.1.3

将 $30$ 乘以 $- 6$ 。

$f (- 6) = 108 - 180 - 5$

解题步骤 2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $108$ 中减去 $180$ 。

$f (- 6) = - 72 - 5$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 72$ 中减去 $5$ 。

$f (- 6) = - 77$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 77$ 。

$- 77$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 6$ 处的值为 $- 77$ 。

$y = - 77$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 7) = 3 {(- 7)}^{2} + 30 (- 7) - 5$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 7) = 3 \cdot 49 + 30 (- 7) - 5$

解题步骤 2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$f (- 7) = 147 + 30 (- 7) - 5$

解题步骤 2.5.1.3

将 $30$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- 7) = 147 - 210 - 5$

解题步骤 2.5.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $147$ 中减去 $210$ 。

$f (- 7) = - 63 - 5$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 63$ 中减去 $5$ 。

$f (- 7) = - 68$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $- 68$ 。

$- 68$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = - 7$ 处的值为 $- 68$ 。

$y = - 68$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 30 (- 4) - 5$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 30 (- 4) - 5$

解题步骤 2.8.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (- 4) = 48 + 30 (- 4) - 5$

解题步骤 2.8.1.3

将 $30$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- 4) = 48 - 120 - 5$

解题步骤 2.8.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $48$ 中减去 $120$ 。

$f (- 4) = - 72 - 5$

解题步骤 2.8.2.2

从 $- 72$ 中减去 $5$ 。

$f (- 4) = - 77$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 77$ 。

$- 77$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = - 4$ 处的值为 $- 77$ 。

$y = - 77$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 30 (- 3) - 5$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 30 (- 3) - 5$

解题步骤 2.11.1.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = 27 + 30 (- 3) - 5$

解题步骤 2.11.1.3

将 $30$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = 27 - 90 - 5$

解题步骤 2.11.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

从 $27$ 中减去 $90$ 。

$f (- 3) = - 63 - 5$

解题步骤 2.11.2.2

从 $- 63$ 中减去 $5$ 。

$f (- 3) = - 68$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 68$ 。

$- 68$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = - 3$ 处的值为 $- 68$ 。

$y = - 68$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & - 68 \\ - 6 & - 77 \\ - 5 & - 80 \\ - 4 & - 77 \\ - 3 & - 68 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(- 5, - 80)$

焦点： $(- 5, - \frac{959}{12})$

对称轴： $x = - 5$

准线： $y = - \frac{961}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & - 68 \\ - 6 & - 77 \\ - 5 & - 80 \\ - 4 & - 77 \\ - 3 & - 68 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

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