初等代数示例

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.3.2.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.3.2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.2.1.2.3.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.3.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.2

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.4.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{x}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

解题步骤 1.3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.3.2.5

合并因数。

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解题步骤 1.3.2.5.1

将 $\frac{1}{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

解题步骤 1.3.2.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

解题步骤 1.3.2.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

解题步骤 1.3.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

解题步骤 1.3.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

计算极限值。

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解题步骤 1.3.3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.3.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1.1

从 $2 \cdot - 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 1.3.5.1.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 1.3.5.1.3

重写表达式。

$- 1 \cdot 0$

解题步骤 1.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{2}{1}$

解题步骤 2.2.2.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 2$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 2.3

把 $2$ 转换成小数。

$y = 2$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 ${(2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.1.3

重写表达式。

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ 。

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ 转换成小数。

$y = 0.1534264$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ 。

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ 转换成小数。

$y = - 0.02191384$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

解题步骤 6

初等代数 示例

初等代数示例