初等代数示例

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将 $y$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

组合 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 1, - 3)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 1.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 1.5.3.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 1, - \frac{7}{2})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - 1$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{5}{2}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{5}{2}$

方向：开口向下

顶点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{5}{2}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

解题步骤 2.2.3

从 $- 9$ 中减去 $7$ 。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 2.2.4.2

用 $- 16$ 除以 $2$ 。

$f (- 3) = 3 - 8$

解题步骤 2.2.5

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$f (- 3) = - 5$

解题步骤 2.2.6

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 3$ 处的值为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

解题步骤 2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $- 4$ 中减去 $7$ 。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

解题步骤 2.5.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

解题步骤 2.5.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

解题步骤 2.5.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

解题步骤 2.5.6

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

解题步骤 2.5.7

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

解题步骤 2.5.8

化简分子。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

解题步骤 2.5.8.2

从 $4$ 中减去 $11$ 。

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.5.9

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.5.10

最终答案为 $- \frac{7}{2}$ 。

$- \frac{7}{2}$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $- \frac{7}{2}$ 。

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

解题步骤 2.8.2

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

解题步骤 2.8.3

从 $- 1$ 中减去 $7$ 。

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

解题步骤 2.8.4

化简每一项。

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解题步骤 2.8.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

解题步骤 2.8.4.2

用 $- 8$ 除以 $2$ 。

$f (1) = - 1 - 4$

解题步骤 2.8.5

从 $- 1$ 中减去 $4$ 。

$f (1) = - 5$

解题步骤 2.8.6

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

在公分母上合并分子。

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

解题步骤 2.11.2

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

解题步骤 2.11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

解题步骤 2.11.3

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.11.4

化简每一项。

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解题步骤 2.11.4.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.11.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.11.5

从 $0$ 中减去 $\frac{7}{2}$ 。

$f (0) = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.11.6

最终答案为 $- \frac{7}{2}$ 。

$- \frac{7}{2}$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $- \frac{7}{2}$ 。

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

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