初等代数示例

$f (x) = | x | + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 2.1

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = | - 2 | + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (- 2) = 2 + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 2.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{4 - 1}{2}$

解题步骤 2.1.2.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (- 2) = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.1.2.6

最终答案为 $\frac{3}{2}$ 。

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.2

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, 0)$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = | - 1 | + \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = | 1 | + \frac{1}{1}$

解题步骤 2.3.2

化简结果。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 2$

解题步骤 2.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 2.4

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{5}{2})$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = | 2 | + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简结果。

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解题步骤 2.4.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

解题步骤 2.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{4 + 1}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.4.2.6

最终答案为 $\frac{5}{2}$ 。

$y = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.5

可以利用顶点附近的点 $(- 2, 1.5), (- 1, 0), (1, 2), (2, 2.5)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.5 \\ - 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2.5 \end{array}$

解题步骤 3

初等代数 示例

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