初等代数示例

$9 x^{2} + y^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $36$ 。

$9 x^{2} + y^{2} = 36$

解题步骤 1.2

将每一项除以 $36$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

解题步骤 1.3

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 6$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{36 - 4}$

解题步骤 5.3.4

从 $36$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{32}$

解题步骤 5.3.5

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\sqrt{16 (2)}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.3.6

从根式下提出各项。

$4 \sqrt{2}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 6)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 6)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (6))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 6)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 4 \sqrt{2})$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, 4 \sqrt{2})$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (4 \sqrt{2}))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - 4 \sqrt{2})$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 - 2^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 4}}{6}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{36 - 4}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4

从 $36$ 中减去 $4$ 。

$\frac{\sqrt{32}}{6}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.3.1.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{6}$

解题步骤 8.3.1.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{6}$

解题步骤 8.3.1.6

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 8.3.2

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{6}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (3)}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

离心率： $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 10

初等代数 示例

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