初等代数示例

$f (x) = \frac{810 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})}{x}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

从 $810 + 100 x + 0.1 x^{2}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $810$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.1.2

从 $100 x$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.1.3

从 $0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$\frac{0.1 \cdot (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.1.4

从 $0.1 \cdot (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$\frac{0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})}{x}$

解题步骤 5.2

展开 $0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{0.1 (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.3

去掉圆括号。

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 \cdot (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.4

将 $0.1$ 乘以 $8100$ 。

$\frac{810 + 0.1 \cdot (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.5

将 $0.1$ 乘以 $1000$ 。

$\frac{810 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.6

将 $810$ 和 $100 x$ 重新排序。

$\frac{100 x + 810 + 0.1 x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.7

移动 $810$ 。

$\frac{100 x + 0.1 x^{2} + 810}{x}$

解题步骤 5.2.8

将 $100 x$ 和 $0.1 x^{2}$ 重新排序。

$\frac{0.1 x^{2} + 100 x + 810}{x}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$0.1 x^{2}$

$100 x$

$810$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $0.1 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$0.1 x$
	$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			+	$0.1 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $0.1 x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $100 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					+	$100 x$	+	$0$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $100 x + 0$ 中的所有符号

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					-	$100 x$	-	$0$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					-	$100 x$	-	$0$
							+	$810$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$0.1 x + 100 + \frac{810}{x}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 0.1 x + 100$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 0.1 x + 100$

解题步骤 7

初等代数 示例

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