初等代数示例

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $- 7 x + \frac{9}{13 x}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

合并。

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解题步骤 5.1.1

要将 $- 7 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{13 x}{13 x}$ 。

$- 7 x \cdot \frac{13 x}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

解题步骤 5.1.2

化简项。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 $- 7 x$ 和 $\frac{13 x}{13 x}$ 。

$\frac{- 7 x (13 x)}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

解题步骤 5.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 7 x (13 x) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 7 \cdot 13 x \cdot x + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 7 \cdot 13 (x \cdot x) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 7 \cdot 13 x^{2} + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $13$ 。

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $- 91 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

解题步骤 5.1.4.3

从 $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

解题步骤 5.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.4.4.1

将 $- (91 x^{2} - 9)$ 重写为 $- 1 (91 x^{2} - 9)$ 。

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

解题步骤 5.1.4.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

解题步骤 5.1.5

化简。

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

解题步骤 5.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 91 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.2.2

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

解题步骤 5.2.3

从 $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

解题步骤 5.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- (91 x^{2} - 9)$ 重写为 $- 1 (91 x^{2} - 9)$ 。

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

解题步骤 5.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

解题步骤 5.3

展开 $- (91 x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 5.3.1

对 $91 x^{2} - 9$ 取反。

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

解题步骤 5.3.2

运用分配律。

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

解题步骤 5.3.4

将 $- 1$ 乘以 $91$ 。

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

解题步骤 5.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$13 x$

$0$

$91 x^{2}$

$0 x$

$9$

解题步骤 5.5

将被除数中的最高阶项 $- 91 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $13 x$ 。

				-	$7 x$
	$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

解题步骤 5.6

将新的商式项乘以除数。

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$91 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 5.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 91 x^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 5.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 5.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$9$

解题步骤 5.10

最终答案为商加上余数除以除数。

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

解题步骤 5.11

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - 7 x$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - 7 x$

解题步骤 7

初等代数 示例

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