初等代数示例

$g (x) = 3 - {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将 $3$ 和 $- {(x - 5)}^{2}$ 重新排序。

$y = - {(x - 5)}^{2} + 3$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 5$

$k = 3$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(5, 3)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(5, \frac{11}{4})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 5$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{13}{4}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, 3)$

焦点： $(5, \frac{11}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{13}{4}$

方向：开口向下

顶点： $(5, 3)$

焦点： $(5, \frac{11}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{13}{4}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - {(4)}^{2} + 10 (4) - 22$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 10 (4) - 22$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = - 16 + 10 (4) - 22$

解题步骤 2.2.1.3

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - 16 + 40 - 22$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 16$ 和 $40$ 相加。

$f (4) = 24 - 22$

解题步骤 2.2.2.2

从 $24$ 中减去 $22$ 。

$f (4) = 2$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 10 (3) - 22$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 10 (3) - 22$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 9 + 10 (3) - 22$

解题步骤 2.5.1.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 9 + 30 - 22$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 9$ 和 $30$ 相加。

$f (3) = 21 - 22$

解题步骤 2.5.2.2

从 $21$ 中减去 $22$ 。

$f (3) = - 1$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - {(6)}^{2} + 10 (6) - 22$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 10 (6) - 22$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$f (6) = - 36 + 10 (6) - 22$

解题步骤 2.8.1.3

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = - 36 + 60 - 22$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $- 36$ 和 $60$ 相加。

$f (6) = 24 - 22$

解题步骤 2.8.2.2

从 $24$ 中减去 $22$ 。

$f (6) = 2$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = - {(7)}^{2} + 10 (7) - 22$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 10 (7) - 22$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$f (7) = - 49 + 10 (7) - 22$

解题步骤 2.11.1.3

将 $10$ 乘以 $7$ 。

$f (7) = - 49 + 70 - 22$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

将 $- 49$ 和 $70$ 相加。

$f (7) = 21 - 22$

解题步骤 2.11.2.2

从 $21$ 中减去 $22$ 。

$f (7) = - 1$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 7$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 1 \\ 4 & 2 \\ 5 & 3 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 1 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, 3)$

焦点： $(5, \frac{11}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 1 \\ 4 & 2 \\ 5 & 3 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 1 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

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