初等代数示例

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

解题步骤 1.2

对 ${(- 9 x + 1)}^{2}$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1.1

将 ${(- 9 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ 。

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

解题步骤 1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1.2.1

运用分配律。

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

解题步骤 1.2.1.2.2

运用分配律。

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

解题步骤 1.2.1.2.3

运用分配律。

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.5

将 $- 9 x$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

解题步骤 1.2.1.3.2

从 $- 9 x$ 中减去 $9 x$ 。

$81 x^{2} - 18 x + 1$

解题步骤 1.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

解题步骤 1.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.2.1

从 $2 \cdot 81$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 9}{81}$

解题步骤 1.2.4.2.2

约去 $- 9$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 1.2.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

解题步骤 1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $81$ 。

$e = 1 - \frac{324}{324}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3

约去 $324$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 1 - \frac{324}{324}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 1 - 1$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$e = 0$

解题步骤 1.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ 。

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

解题步骤 1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{1}{9}, 0)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $81$ 。

$\frac{1}{324}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{1}{9}$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{1}{324}$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{1}{9}, 0)$

焦点： $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

对称轴： $x = \frac{1}{9}$

准线： $y = - \frac{1}{324}$

解题步骤 10

初等代数 示例

初等代数示例