初等代数示例

$h (t) = - 16 t^{2} + 108 t - 137$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $- 16 x^{2} + 108 x - 137$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 16$

$b = 108$

$c = - 137$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{108}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去 $108$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $108$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (- 16)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{54}{- 16}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

约去 $54$ 和 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

从 $54$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (27)}{- 16}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 8}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 8}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{27}{- 8}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{27}{8}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 137 - \frac{108^{2}}{4 \cdot - 16}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $108$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 137 - \frac{11664}{4 \cdot - 16}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$e = - 137 - \frac{11664}{- 64}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

约去 $11664$ 和 $- 64$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.1

从 $11664$ 中分解出因数 $16$ 。

$e = - 137 - \frac{16 (729)}{- 64}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.1

从 $- 64$ 中分解出因数 $16$ 。

$e = - 137 - \frac{16 \cdot 729}{16 \cdot - 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = - 137 - \frac{16 \cdot 729}{16 \cdot - 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = - 137 - \frac{729}{- 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$e = - 137 - - \frac{729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.5

乘以 $- - \frac{729}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 137 + 1 (\frac{729}{4})$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.5.2

将 $\frac{729}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e = - 137 + \frac{729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

要将 $- 137$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$e = - 137 \cdot \frac{4}{4} + \frac{729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合 $- 137$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$e = \frac{- 137 \cdot 4}{4} + \frac{729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 137 \cdot 4 + 729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.4.2.5.1

将 $- 137$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{- 548 + 729}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5.2

将 $- 548$ 和 $729$ 相加。

$e = \frac{181}{4}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 16 {(x - \frac{27}{8})}^{2} + \frac{181}{4}$ 。

$- 16 {(x - \frac{27}{8})}^{2} + \frac{181}{4}$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - 16 {(x - \frac{27}{8})}^{2} + \frac{181}{4}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 16$

$h = \frac{27}{8}$

$k = \frac{181}{4}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{27}{8}, \frac{181}{4})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{1}{- 64}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{64}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{27}{8}, \frac{2895}{64})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{27}{8}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{2897}{64}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{27}{8}, \frac{181}{4})$

焦点： $(\frac{27}{8}, \frac{2895}{64})$

对称轴： $x = \frac{27}{8}$

准线： $y = \frac{2897}{64}$

方向：开口向下

顶点： $(\frac{27}{8}, \frac{181}{4})$

焦点： $(\frac{27}{8}, \frac{2895}{64})$

对称轴： $x = \frac{27}{8}$

准线： $y = \frac{2897}{64}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - 16 {(4)}^{2} + 108 (4) - 137$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = - 16 \cdot 16 + 108 (4) - 137$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 16$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = - 256 + 108 (4) - 137$

解题步骤 2.2.1.3

将 $108$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - 256 + 432 - 137$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 256$ 和 $432$ 相加。

$f (4) = 176 - 137$

解题步骤 2.2.2.2

从 $176$ 中减去 $137$ 。

$f (4) = 39$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $39$ 。

$39$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $39$ 。

$y = 39$

解题步骤 2.4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{27}{8} & \frac{181}{4} \\ 4 & 39 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{27}{8}, \frac{181}{4})$

焦点： $(\frac{27}{8}, \frac{2895}{64})$

对称轴： $x = \frac{27}{8}$

准线： $y = \frac{2897}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{27}{8} & \frac{181}{4} \\ 4 & 39 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

初等代数示例