初等代数示例

$x + \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1

求 $y = x + \frac{x}{| x |}$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 2.1

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, - 3)$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = (- 2) + \frac{- 2}{| - 2 |}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (- 2) = - 2 + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$f (- 2) = - 2 - 1$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$f (- 2) = - 3$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 2.2

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, - 2)$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = (- 1) + \frac{- 1}{| - 1 |}$

解题步骤 2.2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$f (- 1) = - 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f (- 1) = - 2$

解题步骤 2.2.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 2.3

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ 。在本例中，该点为 $(1, 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) + \frac{1}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.2

化简结果。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 2$

解题步骤 2.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 2.4

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ 。在本例中，该点为 $(2, 3)$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = (2) + \frac{2}{| 2 |}$

解题步骤 2.4.2

化简结果。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (2) = 2 + \frac{2}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f (2) = 2 + 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = 3$

解题步骤 2.4.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 2.5

可以利用顶点附近的点 $(- 2, - 3), (- 1, - 2), (1, 2), (2, 3)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 3 \\ - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}$

解题步骤 3

初等代数 示例

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