初等代数示例

$r = (5 + n) (150 - 10 n)$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $(5 + x) (150 - 10 x)$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 + x) (150 - 10 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1.1

运用分配律。

$5 (150 - 10 x) + x (150 - 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.1.2

运用分配律。

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x (150 - 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.1.3

运用分配律。

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1.1

将 $5$ 乘以 $150$ 。

$750 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.2

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$750 - 50 x + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.3

将 $150$ 移到 $x$ 的左侧。

$750 - 50 x + 150 \cdot x + x (- 10 x)$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$750 - 50 x + 150 x - 10 x \cdot x$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$750 - 50 x + 150 x - 10 (x \cdot x)$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$750 - 50 x + 150 x - 10 x^{2}$

解题步骤 1.1.1.1.2.2

将 $- 50 x$ 和 $150 x$ 相加。

$750 + 100 x - 10 x^{2}$

解题步骤 1.1.1.1.3

移动 $750$ 。

$100 x - 10 x^{2} + 750$

解题步骤 1.1.1.1.4

将 $100 x$ 和 $- 10 x^{2}$ 重新排序。

$- 10 x^{2} + 100 x + 750$

解题步骤 1.1.1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 10$

$b = 100$

$c = 750$

解题步骤 1.1.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{100}{2 \cdot - 10}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 10)}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{50}{- 10}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

约去 $50$ 和 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $10$ 。

$d = \frac{10 (5)}{- 10}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2.2

移动 $\frac{5}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 5$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$d = - 5$

解题步骤 1.1.1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 750 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 10}$

解题步骤 1.1.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.1

对 $100$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 750 - \frac{10000}{4 \cdot - 10}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 10$ 。

$e = 750 - \frac{10000}{- 40}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3

用 $10000$ 除以 $- 40$ 。

$e = 750 - - 250$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 250$ 。

$e = 750 + 250$

解题步骤 1.1.1.5.2.2

将 $750$ 和 $250$ 相加。

$e = 1000$

解题步骤 1.1.1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$ 。

$- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 10$

$h = 5$

$k = 1000$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(5, 1000)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 10}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{1}{- 40}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{40}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(5, \frac{39999}{40})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 5$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{40001}{40}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, 1000)$

焦点： $(5, \frac{39999}{40})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{40001}{40}$

方向：开口向下

顶点： $(5, 1000)$

焦点： $(5, \frac{39999}{40})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{40001}{40}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

解题步骤 2.2.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$f (4) = 9 (150 - 10 \cdot 4)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 10$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 9 (150 - 40)$

解题步骤 2.2.4

从 $150$ 中减去 $40$ 。

$f (4) = 9 \cdot 110$

解题步骤 2.2.5

将 $9$ 乘以 $110$ 。

$f (4) = 990$

解题步骤 2.2.6

最终答案为 $990$ 。

$990$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $990$ 。

$y = 990$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

去掉圆括号。

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

解题步骤 2.5.2

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$f (6) = 11 (150 - 10 \cdot 6)$

解题步骤 2.5.3

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = 11 (150 - 60)$

解题步骤 2.5.4

从 $150$ 中减去 $60$ 。

$f (6) = 11 \cdot 90$

解题步骤 2.5.5

将 $11$ 乘以 $90$ 。

$f (6) = 990$

解题步骤 2.5.6

最终答案为 $990$ 。

$990$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $990$ 。

$y = 990$

解题步骤 2.7

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, 1000)$

焦点： $(5, \frac{39999}{40})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = \frac{40001}{40}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

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