初等代数示例

$4 x + y^{2} = 25$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$4 x = 25 - y^{2}$

解题步骤 2

将 $4 x = 25 - y^{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $4 x = 25 - y^{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{4}$

解题步骤 3

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 3.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{25}{4}$ 和 $- \frac{y^{2}}{4}$ 重新排序。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 3.1.2

对 $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$ 进行配方。

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解题步骤 3.1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = \frac{25}{4}$

解题步骤 3.1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 3.1.2.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 3.1.2.3.2.3

乘以 $0 (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$d = 0 \cdot - 4$

解题步骤 3.1.2.3.2.3.2

将 $0$ 乘以 $- 4$ 。

$d = 0$

解题步骤 3.1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{25}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.3

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.4

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$e = \frac{25}{4} - 0$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = \frac{25}{4} + 0$

解题步骤 3.1.2.4.2.2

将 $\frac{25}{4}$ 和 $0$ 相加。

$e = \frac{25}{4}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$ 。

$- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 3.1.3

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 3.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{25}{4}$

$k = 0$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 的值是负数，所以抛物线开口向左。

开口向左

解题步骤 3.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{25}{4}, 0)$

解题步骤 3.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 3.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 3.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.5.3

化简。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 3.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

解题步骤 3.5.3.3

用 $4$ 除以 $4$ 。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 3.5.3.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 3.5.3.4.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.6

求焦点。

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解题步骤 3.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 3.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{21}{4}, 0)$

解题步骤 3.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 0$

解题步骤 3.8

求准线。

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解题步骤 3.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 3.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = \frac{29}{4}$

解题步骤 3.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(\frac{25}{4}, 0)$

焦点： $(\frac{21}{4}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = \frac{29}{4}$

方向：开口向左

顶点： $(\frac{25}{4}, 0)$

焦点： $(\frac{21}{4}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = \frac{29}{4}$

解题步骤 4

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $4.25$ 代入 $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ 。在本例中，该点为 $(4.25, \sqrt{8})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $4.25$ 替换变量 $x$ 。

$f (4.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4.25$ 。

$f (4.25) = \sqrt{25 - 17}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $25$ 中减去 $17$ 。

$f (4.25) = \sqrt{8}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\sqrt{8}$ 。

$y = \sqrt{8}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $4.25$ 代入 $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ 。在本例中，该点为 $(4.25, - \sqrt{8})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $4.25$ 替换变量 $x$ 。

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4.25$ 。

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 17}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $25$ 中减去 $17$ 。

$f (4.25) = - \sqrt{8}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $- \sqrt{8}$ 。

$y = - \sqrt{8}$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $5.25$ 代入 $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ 。在本例中，该点为 $(5.25, 2)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $5.25$ 替换变量 $x$ 。

$f (5.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 4$ 乘以 $5.25$ 。

$f (5.25) = \sqrt{25 - 21}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $25$ 中减去 $21$ 。

$f (5.25) = \sqrt{4}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (5.25) = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.3.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (5.25) = 2$

解题步骤 4.3.2.5

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $5.25$ 代入 $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ 。在本例中，该点为 $(5.25, - 2)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $5.25$ 替换变量 $x$ 。

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 4$ 乘以 $5.25$ 。

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 21}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $25$ 中减去 $21$ 。

$f (5.25) = - \sqrt{4}$

解题步骤 4.4.2.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (5.25) = - \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.4.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (5.25) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (5.25) = - 2$

解题步骤 4.4.2.6

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 4.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

解题步骤 5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(\frac{25}{4}, 0)$

焦点： $(\frac{21}{4}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

解题步骤 6

初等代数 示例

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