初等代数示例

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $19$ 。

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

解题步骤 1.2

对 $5 x^{2} - 27 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$d = \frac{- 27}{10}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{27}{10}$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 27$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e = 0 - \frac{729}{20}$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{729}{20}$ 。

$e = - \frac{729}{20}$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

解题步骤 1.3

在方程 $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ 中，用 $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ 代替 $5 x^{2} - 27 x$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $\frac{729}{20}$ 的方法来将 $- \frac{729}{20}$ 移到等式右边。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

解题步骤 1.5

对 $2 y^{2} + 16 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{8}{2}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$e = 0 - \frac{256}{8}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $256$ 除以 $8$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 32$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$e = 0 - 32$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $32$ 。

$e = - 32$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ 。

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

解题步骤 1.6

在方程 $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ 中，用 $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ 代替 $2 y^{2} + 16 y$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $32$ 的方法来将 $- 32$ 移到等式右边。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

解题步骤 1.8

化简 $19 + \frac{729}{20} + 32$ 。

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解题步骤 1.8.1

求公分母。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $19$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

解题步骤 1.8.1.2

将 $\frac{19}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

解题步骤 1.8.1.3

将 $\frac{19}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

解题步骤 1.8.1.4

将 $32$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

解题步骤 1.8.1.5

将 $\frac{32}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

解题步骤 1.8.1.6

将 $\frac{32}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

解题步骤 1.8.2

在公分母上合并分子。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

解题步骤 1.8.3

化简每一项。

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解题步骤 1.8.3.1

将 $19$ 乘以 $20$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $32$ 乘以 $20$ 。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

解题步骤 1.8.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.8.4.1

将 $380$ 和 $729$ 相加。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

解题步骤 1.8.4.2

将 $1109$ 和 $640$ 相加。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $\frac{1749}{20}$ 以使方程右边等于一。

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(\frac{27}{10}, - 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{17490}}^{2}$ 重写为 $17490$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{17490}$ 重写成 $17490^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

约去 $17490$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $17490$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

对 $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6

将 ${\sqrt{1749}}^{2}$ 重写为 $1749$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1749}$ 重写成 $1749^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

解题步骤 5.3.7

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

解题步骤 5.3.8

要将 $\frac{1749}{40}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

解题步骤 5.3.9

要将 $- \frac{1749}{100}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $200$ 的形式。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $\frac{1749}{40}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.3.10.2

将 $40$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.3.10.3

将 $\frac{1749}{100}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.10.4

将 $100$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

解题步骤 5.3.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

解题步骤 5.3.12

化简分子。

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解题步骤 5.3.12.1

将 $1749$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

解题步骤 5.3.12.2

将 $- 1749$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

解题步骤 5.3.12.3

从 $8745$ 中减去 $3498$ 。

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

解题步骤 5.3.13

将 $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ 。

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

解题步骤 5.3.14

化简分子。

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解题步骤 5.3.14.1

将 $5247$ 重写为 $3^{2} \cdot 583$ 。

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解题步骤 5.3.14.1.1

从 $5247$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

解题步骤 5.3.14.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

解题步骤 5.3.14.2

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

解题步骤 5.3.15

化简分母。

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解题步骤 5.3.15.1

将 $200$ 重写为 $10^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.3.15.1.1

从 $200$ 中分解出因数 $100$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

解题步骤 5.3.15.1.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.15.2

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.16

将 $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.17

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.17.1

将 $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.17.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 5.3.17.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 5.3.17.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 5.3.17.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.17.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.3.17.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.17.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.17.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.17.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.17.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.17.7.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.17.7.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 5.3.17.7.5

计算指数。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.18

化简分子。

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解题步骤 5.3.18.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.18.2

将 $2$ 乘以 $583$ 。

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.19

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

解题步骤 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

解题步骤 6.5

化简。

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

解题步骤 6.6

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

解题步骤 7.3

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

解题步骤 7.5

化简。

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

解题步骤 7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3

将 ${\sqrt{17490}}^{2}$ 重写为 $17490$ 。

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解题步骤 8.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{17490}$ 重写成 $17490^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.4

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.5

约去 $17490$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

从 $17490$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.5.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.5.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.5.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.6

对 $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7

将 ${\sqrt{1749}}^{2}$ 重写为 $1749$ 。

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解题步骤 8.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1749}$ 重写成 $1749^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.7.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.8

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.9

要将 $\frac{1749}{40}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.10

要将 $- \frac{1749}{100}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $200$ 的形式。

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解题步骤 8.3.11.1

将 $\frac{1749}{40}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.11.2

将 $40$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.11.3

将 $\frac{1749}{100}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.11.4

将 $100$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.13

化简分子。

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解题步骤 8.3.13.1

将 $1749$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.13.2

将 $- 1749$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.13.3

从 $8745$ 中减去 $3498$ 。

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.14

将 $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ 。

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.15

化简分子。

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解题步骤 8.3.15.1

将 $5247$ 重写为 $3^{2} \cdot 583$ 。

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解题步骤 8.3.15.1.1

从 $5247$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.15.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.15.2

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.16

化简分母。

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解题步骤 8.3.16.1

将 $200$ 重写为 $10^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.3.16.1.1

从 $200$ 中分解出因数 $100$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.16.1.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.16.2

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17

化简项。

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解题步骤 8.3.17.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.17.1.1

从 $10 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.1.2

从 $20$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.1.3

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.1.4

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.2

将 $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

解题步骤 8.3.17.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

解题步骤 8.3.17.5

将 $2$ 乘以 $17490$ 。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

解题步骤 8.3.18

把 $\sqrt{583}$ 和 $\sqrt{34980}$ 组合为一个单根式。

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

解题步骤 8.3.19

约去 $583$ 和 $34980$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.19.1

从 $583$ 中分解出因数 $583$ 。

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

解题步骤 8.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.19.2.1

从 $34980$ 中分解出因数 $583$ 。

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

解题步骤 8.3.19.2.2

约去公因数。

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

解题步骤 8.3.19.2.3

重写表达式。

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

解题步骤 8.3.20

将 $\sqrt{\frac{1}{60}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ 。

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

解题步骤 8.3.21

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

解题步骤 8.3.22

化简分母。

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解题步骤 8.3.22.1

将 $60$ 重写为 $2^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 8.3.22.1.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

解题步骤 8.3.22.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

解题步骤 8.3.22.2

从根式下提出各项。

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.23

化简项。

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解题步骤 8.3.23.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.23.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.23.1.2

从 $2 \sqrt{15}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

解题步骤 8.3.23.1.3

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.23.1.4

重写表达式。

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.23.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\sqrt{15}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.24

将 $\frac{3}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.25

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.25.1

将 $\frac{3}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.25.2

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.25.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

解题步骤 8.3.25.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.25.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 8.3.25.6

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 8.3.25.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.25.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.25.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.25.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.25.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.25.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

解题步骤 8.3.25.6.5

计算指数。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 8.3.26

约去 $3$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.26.1

从 $3 \sqrt{15}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

解题步骤 8.3.26.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.26.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.26.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.26.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

离心率： $\frac{\sqrt{15}}{5}$

解题步骤 10

初等代数 示例

初等代数示例