初等代数示例

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $12$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

解题步骤 2

等式两边同时除以 $3$ 。

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$

解题步骤 3

对 $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ 进行配方。

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解题步骤 3.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 0$

解题步骤 3.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 1$ 和 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.3

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.4

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.6

将 $\frac{16}{9}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 3.4.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 3.4.2.1.4.2

约去公因数。

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 3.4.2.1.4.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{9}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{4}{9}$ 。

$e = - \frac{4}{9}$

解题步骤 3.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

解题步骤 4

在方程 $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ 中，用 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ 代替 $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} + y^{2} + 2 y = 4$

解题步骤 5

通过在等式两边同时加上 $\frac{4}{9}$ 的方法来将 $- \frac{4}{9}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + y^{2} + 2 y = 4 + \frac{4}{9}$

解题步骤 6

对 $y^{2} + 2 y$ 进行配方。

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解题步骤 6.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 6.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 6.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 6.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 6.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 6.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 。

${(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 7

在方程 $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ 中，用 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 代替 $y^{2} + 2 y$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 4 + \frac{4}{9}$

解题步骤 8

通过在等式两边同时加上 $1$ 的方法来将 $- 1$ 移到等式右边。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 + \frac{4}{9} + 1$

解题步骤 9

化简 $4 + \frac{4}{9} + 1$ 。

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解题步骤 9.1

求公分母。

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解题步骤 9.1.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} + \frac{4}{9} + 1$

解题步骤 9.1.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

解题步骤 9.1.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

解题步骤 9.1.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1}$

解题步骤 9.1.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 9.1.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9}$

解题步骤 9.2

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 + 9}{9}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{36 + 4 + 9}{9}$

解题步骤 9.3.2

将 $36$ 和 $4$ 相加。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{40 + 9}{9}$

解题步骤 9.3.3

将 $40$ 和 $9$ 相加。

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{49}{9}$

解题步骤 10

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 11

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = \frac{7}{3}$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - 1$

解题步骤 12

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(\frac{2}{3}, - 1)$

解题步骤 13

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(\frac{2}{3}, - 1)$

半径： $\frac{7}{3}$

解题步骤 14

初等代数 示例

初等代数示例