初等代数示例

$\sqrt{4 x + 1}$

解题步骤 1

求 $y = \sqrt{4 x + 1}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{4 x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 x + 1 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x \geq - 1$

解题步骤 1.2.2

将 $4 x \geq - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4 x \geq - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

区间计数法：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $- \frac{1}{4}$ 代入 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (- \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (\frac{- 1}{4}) + 1}$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (\frac{- 1}{4}) + 1}$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{- 1 + 1}$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{1}{4}) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(- \frac{1}{4}, 0)$ 。

$(- \frac{1}{4}, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(- 0, 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{4 (0) + 1}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \sqrt{0 + 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(1, \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \sqrt{4 (1) + 1}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{4 + 1}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $\sqrt{5}$ 。

$y = \sqrt{5}$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(2, 3)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{4 (2) + 1}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \sqrt{8 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \sqrt{9}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2) = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2) = 3$

解题步骤 4.3.2.5

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 4.4

平方根可以使用顶点周围的点 $(- 0.25, 0), (- 0, 1), (1, 2.24), (2, 3)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 0.25 & 0 \\ - 0 & 1 \\ 1 & 2.24 \\ 2 & 3 \end{array}$

解题步骤 5

初等代数 示例

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