初等代数示例

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

解题步骤 1

在不等式两边同时加上 $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ 。

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

解题步骤 2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3

化简不等式的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ 。

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

对 $x (x - 1)$ 运用乘积法则。

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

重写为 $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 在不等式左边的形式。

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

解题步骤 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

解题步骤 6

化简不等式的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

将 ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

解题步骤 6.2.1.2

化简。

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

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解题步骤 7.1.1

从不等式两边同时减去 $x^{3}$ 。

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 7.1.2.2.1

运用分配律。

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.2.2

运用分配律。

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.2.3

运用分配律。

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.4

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.5

化简。

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解题步骤 7.1.2.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.2.5.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.5.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.5.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.1.2.6.1

移动 $x$ 。

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

解题步骤 7.1.3

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

解题步骤 7.2

把不等式转换成方程。

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

解题步骤 7.3

从 $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

解题步骤 7.3.2

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3

乘以 $1$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

解题步骤 7.3.4

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

解题步骤 7.3.5

从 $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

解题步骤 7.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

解题步骤 7.5

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.5.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.5.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.5.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.5.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.6

将 $x^{2} - 3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.6.1

将 $x^{2} - 3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

解题步骤 7.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.3

化简。

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解题步骤 7.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.6.2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.6.2.4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.6.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.6.2.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.6.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.7

最终解为使 $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8

求 $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ 的定义域。

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解题步骤 8.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 8.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

区间计数法：

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

解题步骤 11

初等代数 示例

初等代数示例