初等代数示例

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

解题步骤 3

化简方程。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

从根式下提出各项。

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $4 - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

解题步骤 3.2.1.1.3

从 $4 (1) + 4 (- x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

解题步骤 3.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $4 (1 + x) (1 - x)$ 重写为 $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2.1.4.3

添加圆括号。

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

解题步骤 3.2.1.5

从根式下提出各项。

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2.1.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2.1.7

一的任意次幂都为一。

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4

将 $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$y \geq 0$

解题步骤 4.2

在 $y$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3

求 $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域，并求与 $y \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 4.3.1

求 $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} \geq - 1$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.2.3.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 1$

解题步骤 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

解题步骤 4.3.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 4.3.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{1}$

解题步骤 4.3.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.2.5.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \leq 1$

解题步骤 4.3.1.2.6

将 $| x | \leq 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.3.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 1$

解题步骤 4.3.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 4.3.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 1$

解题步骤 4.3.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 4.3.1.2.7

求 $x \leq 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 1$

解题步骤 4.3.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 1$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.8.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.2.8.1.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 4.3.1.2.8.2

求 $x \geq - 1$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 1 \leq x < 0$

解题步骤 4.3.1.2.9

求解的并集。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 4.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 1, 1]$

解题步骤 4.3.2

求 $y \geq 0$ 和 $[- 1, 1]$ 的交点。

$0 \leq y \leq 1$

解题步骤 4.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$y < 0$

解题步骤 4.5

在 $y$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.6

求 $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域，并求与 $y < 0$ 的交点。

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解题步骤 4.6.1

求 $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 4.6.1.1

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

化简 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.6.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} \geq - 1$

解题步骤 4.6.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.6.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.6.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.6.1.2.3.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 1$

解题步骤 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

解题步骤 4.6.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 4.6.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 4.6.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{1}$

解题步骤 4.6.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.6.1.2.5.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \leq 1$

解题步骤 4.6.1.2.6

将 $| x | \leq 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.6.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 4.6.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 1$

解题步骤 4.6.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 4.6.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 1$

解题步骤 4.6.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 4.6.1.2.7

求 $x \leq 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 1$

解题步骤 4.6.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 1$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.8.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.6.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.6.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.6.1.2.8.1.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 4.6.1.2.8.2

求 $x \geq - 1$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 1 \leq x < 0$

解题步骤 4.6.1.2.9

求解的并集。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 4.6.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 1, 1]$

解题步骤 4.6.2

求 $y < 0$ 和 $[- 1, 1]$ 的交点。

$- 1 \leq y < 0$

解题步骤 4.7

书写为分段式。

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

解题步骤 5

求 $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $0 \leq y \leq 1$ 的交点。

无解

解题步骤 6

当 $- 1 \leq y < 0$ 时求解 $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1

将 $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

解题步骤 6.1.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

移动 $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

解题步骤 6.1.3.2

将 $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ 重写为 $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ 。

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 6.2

求 $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $- 1 \leq y < 0$ 的交点。

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

解题步骤 7

求解的并集。

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

解题步骤 8

初等代数 示例

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