初等代数示例

16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有不包含变量的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上

$54$ 。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上

$161$ 。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

解题步骤 1.1.3

将

$54$ 和

$161$ 相加。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

解题步骤 1.2

对

$16 x^{2} + 64 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去

$64$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从

$64$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从

$2 \cdot 16$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{32}{16}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去

$32$ 和

$16$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从

$32$ 中分解出因数

$16$ 。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从

$16$ 中分解出因数

$16$ 。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用

$2$ 除以

$1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.2.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对

$64$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$16$ 。

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用

$4096$ 除以

$64$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$64$ 。

$e = 0 - 64$

解题步骤 1.2.4.2.2

从

$0$ 中减去

$64$ 。

$e = - 64$

解题步骤 1.2.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$ 。

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

解题步骤 1.3

在方程

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ 中，用

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$ 代替

$16 x^{2} + 64 x$ 。

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上

$64$ 的方法来将

$- 64$ 移到等式右边。

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

解题步骤 1.5

将

$215$ 和

$64$ 相加。

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

解题步骤 1.6

将每一项除以

$279$ 以使方程右边等于一。

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

解题步骤 1.7

化简方程中的每一项，使右边等于

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

$1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量

$h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量，

$k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量，

$a$ 。

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

解题步骤 4

双曲线的中心符合

$(h, k)$ 的形式。代入

$h$ 和

$k$ 的值。

$(- 2, 0)$

解题步骤 5

求处

$c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.3.1.1

对

$\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对

$3 \sqrt{31}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

将

${\sqrt{31}}^{2}$ 重写为

$31$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{31}$ 重写成

$31^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 5.3.3.1

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

将

$9$ 乘以

$31$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

将

${\sqrt{31}}^{2}$ 重写为

$31$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{31}$ 重写成

$31^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.3.3.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

解题步骤 5.3.3.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

解题步骤 5.3.4

要将

$31$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

解题步骤 5.3.5

组合

$31$ 和

$\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

解题步骤 5.3.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

解题步骤 5.3.7

化简分子。

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解题步骤 5.3.7.1

将

$31$ 乘以

$16$ 。

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

解题步骤 5.3.7.2

将

$279$ 和

$496$ 相加。

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

解题步骤 5.3.8

将

$\sqrt{\frac{775}{16}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ 。

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.3.9.1

将

$775$ 重写为

$5^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 5.3.9.1.1

从

$775$ 中分解出因数

$25$ 。

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.3.9.1.2

将

$25$ 重写为

$5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.3.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.3.10

化简分母。

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解题步骤 5.3.10.1

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 5.3.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过

$h$ 加上

$a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将

$h$ 、

$a$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从

$h$ 中减去

$a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将

$h$ 、

$a$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合

$(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过

$c$ 加上

$h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从

$h$ 中减去

$c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.3.2.1

对

$\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.2.2

对

$3 \sqrt{31}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.3.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2

将

${\sqrt{31}}^{2}$ 重写为

$31$ 。

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解题步骤 8.3.3.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{31}$ 重写成

$31^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 8.3.4.1

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.2

将

$9$ 乘以

$31$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3

将

${\sqrt{31}}^{2}$ 重写为

$31$ 。

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解题步骤 8.3.4.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{31}$ 重写成

$31^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.4.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.5

要将

$31$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.6

组合

$31$ 和

$\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.8

化简分子。

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解题步骤 8.3.8.1

将

$31$ 乘以

$16$ 。

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.8.2

将

$279$ 和

$496$ 相加。

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.9

将

$\sqrt{\frac{775}{16}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ 。

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.10

化简分子。

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解题步骤 8.3.10.1

将

$775$ 重写为

$5^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 8.3.10.1.1

从

$775$ 中分解出因数

$25$ 。

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.10.1.2

将

$25$ 重写为

$5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.10.2

从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.11

化简分母。

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解题步骤 8.3.11.1

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.11.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.12

化简项。

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解题步骤 8.3.12.1

约去

$\sqrt{31}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.12.1.1

从

$5 \sqrt{31}$ 中分解出因数

$\sqrt{31}$ 。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

解题步骤 8.3.12.1.2

从

$3 \sqrt{31}$ 中分解出因数

$\sqrt{31}$ 。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

解题步骤 8.3.12.1.3

约去公因数。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

解题步骤 8.3.12.1.4

重写表达式。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

解题步骤 8.3.12.2

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.12.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

解题步骤 8.3.12.2.2

重写表达式。

$5 (\frac{1}{3})$

解题步骤 8.3.12.3

组合

$5$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将

$b$ 和

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去

${\sqrt{31}}^{2}$ 和

$\sqrt{31}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从

${\sqrt{31}}^{2}$ 中分解出因数

$\sqrt{31}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从

$5 \sqrt{31}$ 中分解出因数

$\sqrt{31}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

解题步骤 9.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 9.3.3

乘以

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 9.3.3.1

将

$\frac{\sqrt{31}}{5}$ 乘以

$\frac{1}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

解题步骤 9.3.3.2

将

$5$ 乘以

$4$ 。

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

解题步骤 11.2

化简

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1.1

将

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ 和

$0$ 相加。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

解题步骤 11.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

解题步骤 11.2.2

运用分配律。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

解题步骤 11.2.3

组合

$\frac{4}{3}$ 和

$x$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

解题步骤 11.2.4

乘以

$\frac{4}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.4.1

组合

$\frac{4}{3}$ 和

$2$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

解题步骤 11.2.4.2

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

解题步骤 12.2

化简

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

化简表达式。

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解题步骤 12.2.1.1

将

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ 和

$0$ 相加。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

解题步骤 12.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

解题步骤 12.2.2

运用分配律。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

解题步骤 12.2.3

组合

$x$ 和

$\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

解题步骤 12.2.4

乘以

$- \frac{4}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.2.4.1

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

解题步骤 12.2.4.2

组合

$- 2$ 和

$\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

解题步骤 12.2.4.3

将

$- 2$ 乘以

$4$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 12.2.5

化简每一项。

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解题步骤 12.2.5.1

将

$4$ 移到

$x$ 的左侧。

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 12.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点：

$(- 2, 0)$

顶点：

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

焦点：

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

离心率：

$\frac{5}{3}$

焦点参数：

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

渐近线：

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ ，

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 15

初等代数 示例

初等代数示例