初等代数示例

$- 16 x^{2} + 96 x - 144 + 4 y^{2} - 32 y = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $144$ 。

$- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$

解题步骤 1.2

对 $- 16 x^{2} + 96 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $96$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $96$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{48}{- 16}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $48$ 和 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

移动 $\frac{3}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$d = - 3$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $96$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $9216$ 除以 $- 64$ 。

$e = 0 - - 144$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 144$ 。

$e = 0 + 144$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $144$ 相加。

$e = 144$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ 。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$

解题步骤 1.3

在方程 $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ 中，用 $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ 代替 $- 16 x^{2} + 96 x$ 。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144 + 4 y^{2} - 32 y = 144$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $144$ 的方法来将 $144$ 移到等式右边。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 32 y = 144 - 144$

解题步骤 1.5

对 $4 y^{2} - 32 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 16}{4}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $- 32$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $1024$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$e = 0 - 64$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $64$ 。

$e = - 64$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ 。

$4 {(y - 4)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6

在方程 $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ 中，用 $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ 代替 $4 y^{2} - 32 y$ 。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} - 64 = 144 - 144$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $64$ 的方法来将 $- 64$ 移到等式右边。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 144 - 144 + 64$

解题步骤 1.8

化简 $144 - 144 + 64$ 。

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解题步骤 1.8.1

从 $144$ 中减去 $144$ 。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 0 + 64$

解题步骤 1.8.2

将 $0$ 和 $64$ 相加。

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 64$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $64$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 4$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(3, 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 4}$

解题步骤 5.3.3

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{20}$

解题步骤 5.3.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{4 (5)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

解题步骤 5.3.5

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{5}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, 8)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(3, 8), (3, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, 4 + 2 \sqrt{5})$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, 4 - 2 \sqrt{5})$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

解题步骤 8.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

解题步骤 8.3.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 8.3.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去 $2^{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从 $2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm 2 \cdot (x - (3)) + 4$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot (x - (3)) + 4$

解题步骤 11.2

化简 $2 \cdot (x - (3)) + 4$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = 2 \cdot (x - 3) + 4$

解题步骤 11.2.1.2

运用分配律。

$y = 2 x + 2 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 11.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$y = 2 x - 6 + 4$

解题步骤 11.2.2

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$y = 2 x - 2$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - 2 \cdot (x - (3)) + 4$

解题步骤 12.2

化简 $- 2 \cdot (x - (3)) + 4$ 。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - 2 \cdot (x - 3) + 4$

解题步骤 12.2.1.2

运用分配律。

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 12.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - 2 x + 6 + 4$

解题步骤 12.2.2

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$y = - 2 x + 10$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = 2 x - 2, y = - 2 x + 10$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(3, 4)$

顶点： $(3, 8), (3, 0)$

焦点： $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

离心率： $\frac{\sqrt{5}}{2}$

焦点参数： $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

渐近线： $y = 2 x - 2$ ， $y = - 2 x + 10$

解题步骤 15

初等代数 示例

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