初等代数示例

$2 x^{2} - 14 x + 2 y^{2} + 16 y = - \frac{77}{2}$

解题步骤 1

等式两边同时除以 $2$ 。

$x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$

解题步骤 2

对 $x^{2} - 7 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{49}{4}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{49}{4}$ 。

$e = - \frac{49}{4}$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ 。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$ 中，用 ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ 代替 $x^{2} - 7 x$ 。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $\frac{49}{4}$ 的方法来将 $- \frac{49}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4}$

解题步骤 5

对 $y^{2} + 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 4)}^{2} - 16$ 。

${(y + 4)}^{2} - 16$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$ 中，用 ${(y + 4)}^{2} - 16$ 代替 $y^{2} + 8 y$ 。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4}$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4} + 16$

解题步骤 8

化简 $- \frac{77}{4} + \frac{49}{4} + 16$ 。

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解题步骤 8.1

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 + \frac{- 77 + 49}{4}$

解题步骤 8.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 77$ 和 $49$ 相加。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 + \frac{- 28}{4}$

解题步骤 8.2.2

用 $- 28$ 除以 $4$ 。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 - 7$

解题步骤 8.2.3

从 $16$ 中减去 $7$ 。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$

解题步骤 9

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 10

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = 3$

$h = \frac{7}{2}$

$k = - 4$

解题步骤 11

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(\frac{7}{2}, - 4)$

解题步骤 12

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(\frac{7}{2}, - 4)$

半径： $3$

解题步骤 13

初等代数 示例

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