初等代数示例

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y - 19 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $19$ 。

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y = 19$

解题步骤 2

等式两边同时除以 $2$ 。

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$

解题步骤 3

对 $x^{2} - 4 x$ 进行配方。

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解题步骤 3.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

解题步骤 3.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

解题步骤 3.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 3.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去 ${(- 4)}^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

对 $- 1 (4)$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.4

将 $4^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.5

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.6

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.6.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 3.4.2.1.1.6.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.6.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 3.4.2.1.1.6.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 3.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 3.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - 2)}^{2} - 4$ 。

${(x - 2)}^{2} - 4$

解题步骤 4

在方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ 中，用 ${(x - 2)}^{2} - 4$ 代替 $x^{2} - 4 x$ 。

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2}$

解题步骤 5

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2} + 4$

解题步骤 6

对 $y^{2} + 4 y$ 进行配方。

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解题步骤 6.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

解题步骤 6.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 6.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 6.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 6.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 6.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 。

${(y + 2)}^{2} - 4$

解题步骤 7

在方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ 中，用 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 代替 $y^{2} + 4 y$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = \frac{19}{2} + 4$

解题步骤 8

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + 4 + 4$

解题步骤 9

化简 $\frac{19}{2} + 4 + 4$ 。

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解题步骤 9.1

求公分母。

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解题步骤 9.1.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} + 4$

解题步骤 9.1.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

解题步骤 9.1.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + 4$

解题步骤 9.1.4

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1}$

解题步骤 9.1.5

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.1.6

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

解题步骤 9.2

在公分母上合并分子。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2}$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 4 \cdot 2}{2}$

解题步骤 9.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 8}{2}$

解题步骤 9.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $19$ 和 $8$ 相加。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{27 + 8}{2}$

解题步骤 9.4.2

将 $27$ 和 $8$ 相加。

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{35}{2}$

解题步骤 10

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 11

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = \frac{\sqrt{70}}{2}$

$h = 2$

$k = - 2$

解题步骤 12

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(2, - 2)$

解题步骤 13

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(2, - 2)$

半径： $\frac{\sqrt{70}}{2}$

解题步骤 14

初等代数 示例

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