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初等代数 示例
解题步骤 1
求在何处表达式 无定义。
解题步骤 2
思考一下有理函数 ,其中 是分子的幂, 是分母的幂。
1. 如果 ,那么 X 轴,即 为水平渐近线。
2. 如果 ,那么水平渐近线为直线 。
3. 如果 ,那么水平渐近线不存在(存在一条斜渐近线)。
解题步骤 3
求 和 。
解题步骤 4
因为 ,所以没有水平渐近线。
不存在水平渐近线
解题步骤 5
解题步骤 5.1
合并。
解题步骤 5.1.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 5.1.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.1.3
化简分子。
解题步骤 5.1.3.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.3.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.3.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.3.1.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.3.2
将 重写为 。
解题步骤 5.1.3.3
将 重写为 。
解题步骤 5.1.3.4
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中 和 。
解题步骤 5.1.3.5
化简。
解题步骤 5.1.3.5.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.3.5.1.1
移动 。
解题步骤 5.1.3.5.1.2
将 乘以 。
解题步骤 5.1.3.5.1.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 5.1.3.5.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.3.5.1.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.3.5.2
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.3.5.2.1
移动 。
解题步骤 5.1.3.5.2.2
将 乘以 。
解题步骤 5.1.3.5.2.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 5.1.3.5.2.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.3.5.2.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.4
求公分母。
解题步骤 5.1.4.1
将 写成分母为 的分数。
解题步骤 5.1.4.2
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.3
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.4
将 写成分母为 的分数。
解题步骤 5.1.4.5
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.6
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.7
将 写成分母为 的分数。
解题步骤 5.1.4.8
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.9
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.10
将 写成分母为 的分数。
解题步骤 5.1.4.11
将 乘以 。
解题步骤 5.1.4.12
将 乘以 。
解题步骤 5.1.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.1.6
化简每一项。
解题步骤 5.1.6.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.1.1
移动 。
解题步骤 5.1.6.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.6.1.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.6.2
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.2.1
移动 。
解题步骤 5.1.6.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.6.2.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.6.3
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.3.1
移动 。
解题步骤 5.1.6.3.2
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.3.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 5.1.6.3.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.6.3.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.6.4
运用分配律。
解题步骤 5.1.6.5
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.6
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.7
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 5.1.6.7.1
运用分配律。
解题步骤 5.1.6.7.2
运用分配律。
解题步骤 5.1.6.7.3
运用分配律。
解题步骤 5.1.6.8
化简并合并同类项。
解题步骤 5.1.6.8.1
化简每一项。
解题步骤 5.1.6.8.1.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 5.1.6.8.1.2
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.8.1.2.1
移动 。
解题步骤 5.1.6.8.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.6.8.1.2.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.6.8.1.3
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.8.1.4
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.8.1.5
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.8.1.6
将 乘以 。
解题步骤 5.1.6.8.2
将 和 相加。
解题步骤 5.1.6.8.3
将 和 相加。
解题步骤 5.1.7
化简表达式。
解题步骤 5.1.7.1
移动 。
解题步骤 5.1.7.2
移动 。
解题步骤 5.1.7.3
移动 。
解题步骤 5.1.7.4
将 和 重新排序。
解题步骤 5.1.8
化简。
解题步骤 5.2
建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项,则插入带 值的项。
+ | + | - | - | + | - | + | - |
解题步骤 5.3
将被除数中的最高阶项 除以除数中的最高阶项 。
+ | + | - | - | + | - | + | - |
解题步骤 5.4
将新的商式项乘以除数。
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
+ | + | + |
解题步骤 5.5
因为要从被除数中减去该表达式,所以应改变 中的所有符号
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - |
解题步骤 5.6
改变符号后,将相乘所得的多项式和最后的被除数相加,得到新的被除数。
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - |
解题步骤 5.7
从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + |
解题步骤 5.8
将被除数中的最高阶项 除以除数中的最高阶项 。
- | |||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + |
解题步骤 5.9
将新的商式项乘以除数。
- | |||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
- | + | + |
解题步骤 5.10
因为要从被除数中减去该表达式,所以应改变 中的所有符号
- | |||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - |
解题步骤 5.11
改变符号后,将相乘所得的多项式和最后的被除数相加,得到新的被除数。
- | |||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + |
解题步骤 5.12
从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。
- | |||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - |
解题步骤 5.13
将被除数中的最高阶项 除以除数中的最高阶项 。
- | - | ||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - |
解题步骤 5.14
将新的商式项乘以除数。
- | - | ||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
- | + | + |
解题步骤 5.15
因为要从被除数中减去该表达式,所以应改变 中的所有符号
- | - | ||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - |
解题步骤 5.16
改变符号后,将相乘所得的多项式和最后的被除数相加,得到新的被除数。
- | - | ||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - |
解题步骤 5.17
从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。
- | - | ||||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + |
解题步骤 5.18
将被除数中的最高阶项 除以除数中的最高阶项 。
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + |
解题步骤 5.19
将新的商式项乘以除数。
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | + |
解题步骤 5.20
因为要从被除数中减去该表达式,所以应改变 中的所有符号
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - |
解题步骤 5.21
改变符号后,将相乘所得的多项式和最后的被除数相加,得到新的被除数。
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + |
解题步骤 5.22
从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - |
解题步骤 5.23
将被除数中的最高阶项 除以除数中的最高阶项 。
- | - | + | - | ||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - |
解题步骤 5.24
将新的商式项乘以除数。
- | - | + | - | ||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
- | + | + |
解题步骤 5.25
因为要从被除数中减去该表达式,所以应改变 中的所有符号
- | - | + | - | ||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - |
解题步骤 5.26
改变符号后,将相乘所得的多项式和最后的被除数相加,得到新的被除数。
- | - | + | - | ||||||||||||||||
+ | + | - | - | + | - | + | - | ||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | - | + | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
+ | - | + | |||||||||||||||||
- | - | - | |||||||||||||||||
- | + | - | |||||||||||||||||
+ | - | - | |||||||||||||||||
- |
解题步骤 5.27
最终答案为商加上余数除以除数。
解题步骤 5.28
斜渐近线是长除法结果的多项式部分。
解题步骤 6
这是所有渐近线的集合。
垂直渐近线:
不存在水平渐近线
斜渐近线:
解题步骤 7